Rationale Kurven auf algebraischen Varietäten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Mit dem Forschungsstipendium der DFG habe ich für jeweils ein Semester bei J. Kollár an der Princeton University und im Rahmen des Semesterprogramms Algebraic Geometry am Mathematical Sciences Research Institute (MSRI) in Berkeley geforscht. Mein Projekt war in der Arithmetischen Geometrie, der Schnittstelle zwischen Algebraischer Geometrie und Zahlentheorie, angesiedelt. Ziel war es, mit Hilfe von sogenannten universellen Torsoren die Verteilung von rationalen Punkten und Kurven auf algebraischen Varietäten zu verstehen. Die Hauptresultate meiner Arbeit betreffen die Manin'sche Vermutung über die Verteilung von rationalen Punkten beschränkter Höhe auf del-Pezzo-Flächen. Insbesondere ist es mir gelungen, die Arbeit "Counting integral points on universal torsors" im Laufe des Forschungsstipendiums zu schreiben und zu publizieren. Darin harmonisiere und verallgemeinere ich zahlreiche Resultate, die beim Einsatz von universellen Torsoren zum Beweis der Manin'schen Vermutung hilfreich sind. Die mit T. D. Browning geschriebene Arbeit "Manin's conjecture for a cubic surface with D5 singularity" beweist die Vermutung für eine singulare kubische Fläche. Sie wurde (genauso wie eine weitere Arbeit mit T. D. Browning) im Laufe des Forschungsstipendiums vollendet und publiziert; sie basiert entscheidend auf dem vorher erwähnten Artikel. Mein Projekt "Singular del Pezzo surfaces that are equivariant compactifications" (mit D. Loughran) ist in der algebraischen Geometrie angesiedelt, hat aber ebenfalls arithmetische Hintergründe. Die Aufgabenstellung wurde während des MSRI-Aufenthalts entwickelt und gelöst; inzwischen liegt das Resultat als Preprint vor. Zwei weitere Teilprojekte wurden von meinem Gastgeber J. Kollár vorgeschlagen. Eins betrifft die Verteilung von rationalen Kurven und Punkten auf singulären rationalen Flächen allgemeinen Typs; das andere hat das Ziel, mit experimentellen Methoden rationale Kurven auf gewissen del-Pezzo-Flächen von Grad 1 zu finden. Beide Vorhaben sind noch nicht abgeschlossen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Counting integral points on universal torsors. International Mathematics Research Notices IMRN (2009), no. 14, pp. 2648-2699
U. Derenthal
- Manin's conjecture for a cubic surface with D5 singularity. International Mathematics Research Notices IMRN (2009), no. 14, pp. 2620-2647
U. Derenthal, T. D. Browning
- Manin's conjecture for a quartic del Pezzo surface with A4 singularity. Annales de l'Institut Fourier 59 (2009), no. 3, pp. 1231-1265
U. Derenthal, T. D. Browning
- Singular del Pezzo surfaces that are equivariant compactifications, (2009), 12 Seiten
U. Derenthal, D. Loughran
