Berechnungskomplexität der Bettizahlen komplex-algebraischer Varietäten

• Applicant: Dr. Peter Scheiblechner
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2008 to 2010
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 79828278

• Final Report Year: 2010

Final Report Abstract

Bettizahlen eines geometrischen Objekts sind Verallgemeinerungen der Anzahl dessen Zusammenhangskomponenten. Anschaulich kann man sagen, dass die k-te Bettizahl k-dimensionale Löcher zahlt. Komplex-algebraische Varietaten sind Lösungsmengen polynomialer Gleichungssysteme in den komplexen Zahlen. In diesem Projekt wurde die Berechnungskomplexitat der topologischen Bettizahlen algebraischer Varietaten untersucht. Der im Antrag des Stipendiums vorgeschlagene Ansatz wurde im Fall einer glatten projektiven Varietät erfolgreich durchgeführt. Es stellte sich bei diesen Untersuchungen heraus, dass die für den Erfolg notwendigen Gradschranken mit der Castelnuovo-Mumford-Regularität der Garbe der Differentialformen auf der Varietät zusammenhängt. Für diese wurde eine effektive Schranke bewiesen, die linear im Grad der Varietät und polynomiell in der Anzahl der Variablen ist. Dieses theoretische Resultat mag auch in anderem Zusammenhang interessant sein. Weitere Resultate des Projekts beinhalten die Weiterentwicklung unserer früheren Algorithmen zum Zahlen der Zusammenhangs- und irre- ¨ duziblen Komponenten, um effizient definierende Gleichungen fur diese Komponenten zu berechnen. Weiterhin wurden Fortschritte bei unteren Schranken für die Entscheidungskomplexität einer Menge im Cn im Modell der algebraischen Entscheidungsbaume erzielt. Während des Projekts wurde klar, dass das Problem der Berechnung von Bettizahlen singulärer Varietaten sehr verschieden vom glatten Fall ist, und neue Ideen und Methoden notwendig sind. Für diesen Fall sind vielleicht andere Kohomologie-Theorien wie etwa Schnittkohomologie besser geeignet. Als weiterer Anwendungsaspekt soll erwähnt werden, dass evtl. unsere Algorithmen zur Berechnung von Zusammenhangskomponenten Anwendung in der Theorie rationaler Lösungen polynomialer Gleichungssysteme finden könnten.

Publications

• Castelnuovo-Mumford Regularity and Computing the de Rham Cohomology of Smooth Projective Varieties
  P. Scheiblechner
  
• Comparison of Complexity over the Real vs. Complex Numbers. Logical Approaches to Barriers in Computing and Complexity, 2010, Greifswald, Germany
  P. Scheiblechner