Curvature measure for fractals and application in pattern recognition

• Applicant: Professorin Dr. Martina Zähle
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2008 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 61396530

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Im Rahmen des Projektes ist es uns gelungen, fraktale Krümmungen für sehr allgemeine (zufällige) selbstähnliche und selbstkonforme Mengen zu bestimmen sowie Verallgemeinerungen auf V-variable Mengen und graphengesteuerte Modelle vorzubereiten. Mit der Betrachtung entsprechender Probleme in nichteuklidischen Raumen wurde begonnen. Damit ergeben sich neue geometrische Parameter, die neben den fraktalen Dimensionen zur Unterscheidung solcher fraktaler Mengen benutzt werden können. Der (mittlere) Minkowski-Inhalt ist als Spezialfall enthalten. Entsprechende Klassifikationsverfahren wären eine Aufgabe für die Zukunft. Als Zugang wurden Grenzwerte von reskalierten klassischen Varianten für die Parallelumgebungen mit kleinem Abstand gewählt. Gewisse Stabilitätsaussagen liegen auch vor. Im Laufe der Jahre haben sich in den benutzten Methoden enge Beziehungen zwischen Krümmungstheorie, Erneuerungstheorie, Ergodentheorie und thermodynamischem Formalismus herausgestellt. In einer Masterarbeit wurde ein Verfahren zur computergestützten Bestimmung der Krümmungen der Parallelmengen von Fraktalen entwickelt, was zu deren geoemtrischer Unterscheidung ausgebaut werden kann. Durch die gleichzeitige Forschung zur (stochastischen) Analysis auf Fraktalen wurden Fragen des Zusammenhangs zwischen Geometrie und Spektraltheorie erkannt, die für die zukünftige Forschung auf diesem neuen Gebiet sehr interessant sein könnten, und wo es bei uns gewisse Vorarbeiten gibt.

Publications

• Lipschitz-Killing curvatures of self-similar random fractals. Trans. Amer. Math. Soc. 363 (2011), 2663-2684
  M. Zähle
  
• Curvature densities of self-similar sets. Indiana Univ. Math. J. 61 (2012), 1425-1449
  J. Rataj, M. Zähle
  
• Fractal curvatures and Minkowski content of self-conformal sets
  T. Bohl
  
• Semigroups, potential spaces and applications to (S)PDE. Potential Anal. (2012), 483-515
  M. Hinz, M. Zähle
  
• Curvature measures of fractal sets. Contemp. Math. 600 (2013), 381-399
  M. Zähle
  
• Curvature-direction measures of self-similar sets. Geom. Dedicata 167 (2013), 215-231
  T. Bohl, M. Zähle
  
• Fractal curvature measures of self-similar sets. Advances Geom. 13 (2013), 229-244
  S. Winter, M. Zähle
  
• Stability properties of fractal curvatures. in: Geometry and Analysis of Fractals, Springer Proc. Math. Stat. (2014), 343-354
  M. Zähle
  
• Legendrian cycles and curvature. J. Geometric Analysis 25 (2015), 2133-2147
  J. Rataj, M. Zähle
  
• Multivariate variational principles for topological pressure. Stoch. Dyn., 15 (2015)
  M. Rauch