Berechnung von Verteilungsdichtefunktionen stochastisch angeregter mechanischer Systeme durch Lösung der Fokker-Planck-Gleichung.
Final Report Abstract
Technische Systeme unter dem Einfluss stochastischer Anregungen lassen sich durch stochastische Prozesse und zugehörige stochastische Differentialgleichungen beschreiben. Die Berechnung von Verteilungsdichten solcher Systeme kann unter anderem durch Lösen der zugehörigen Fokker-Planck-Gleichung erfolgen. Diverse Arbeiten des ersten Antragstellers vor Beginn des Förderungszeitraumes haben gezeigt, wie mit Hilfe eines Galerkin-Verfahrens Lösungen höherdimensionaler Fokker-Planck-Gleichungen gefunden und somit Verteilungsdichten von stochastisch erregten mechanischen Systemen berechnet werden können. Die Entwicklung von Näherungs-Lösungen mit orthogonalen Polynomen ermöglicht hierbei, globale Lösungen für solche Probleme zu ermitteln. Ziel des vorliegenden Projektes war es, diese Verfahren weiterzuentwickeln und zu verbessern, mit besonderem Fokus auf die Erhöhung der Dimension von mit dieser Methode lösbaren Problemen. Entsprechend den Erwartungen hat sich das Verfahren als prinzipiell geeignet herausgestellt, Probleme mit weitaus höheren Dimensionen zu berechnen als mit gängigen alternativen Lösungsverfahren. Hierzu wurden zunächst akademische Beispiele mit sukzessive anwachsenden Problemdimensionen von d = 2 bis d = 10 untersucht, um den Aufbau der Lösungsprogramme den besonderen Anforderungen hochdimensionaler Systeme anzupassen. Um die Relevanz für mögliche technische Anwendungen zu demonstrieren, wurden anschließend spezielle mechanische Beispiele, unter anderem aus der Fahrzeugtechnik mit Dimension sechs bzw. zehn, sowie aus der Mechatronik erfolgreich untersucht. Durch die Arbeiten des zweiten Antragsstellers konnten wesentliche Fortschritte beim Aufstellen des Gleichungssystems sowie dessen Lösung erzielt werden. Für spezielle Ansatzfunktionen (Gauss-Verteilungen) konnten analytische Zusammenhänge in größerem Maße ausgenutzt werden, was zu einer erheblichen Steigerung der Effizienz und Genauigkeit des Verfahrens führt. Zur Lösung der entstehenden Gleichungssysteme wurden unterschiedliche numerische Verfahren untersucht und in ihren Vor- und Nachteilen, was Schnelligkeit sowie Genauigkeit angeht, verglichen. Bei der Behandlung hochdimensionaler Verteilungsdichten wurde zunächst die Verwendung multivariater Ansatzfunktionen untersucht, im weiteren Verlauf hat sich jedoch eine kovarianzbasierte Koordinatentransformation (Hauptkomponentenanalyse oder Karhunen-Loève-Transformation) als zweckmäßig herausgestellt, um der Struktur großer Systeme gerecht zu werden. Die Umsetzung dieser linearen Transformation sowie die Rücktransformation in physikalische Koordinaten zur Berechnung technischer Ausgangsgrößen hat dabei einen wichtigen Bestandteil der durchgeführten Arbeiten ausgemacht. Vergleichsergebnisse lassen sich durch numerische Integration des stochastischen Prozesses ermitteln (Monte-Carlo-Simulation), wobei sich das untersuchte Galerkin-Verfahren entsprechend den Erwartungen als effektivere und wesentlich schnellere Alternative herausgestellt hat.
Publications
- On the Solution of High Dimensional Fokker Planck Equations using Orthogonal Polynomial Expansion. Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 10(1), 257-258, 2010
Martens, W.; von Wagner, U.
- Advances in solving high dimensional Fokker-Planck equations. ENOC 2011, 24. - 29. Juli 2011, Rom, Italien
Martens, W.; von Wagner, U.
- Calculation of probability density functions for nonlinear vibration systems. Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 11(1), 923-926, 2011
Martens, W.; von Wagner, U.
- Calculation of Probability Density Functions of Multi- Dimensional Nonlinear Systems by Solving the Fokker-Planck-Equation. ICIAM 2011, 18. - 22. Juli, 2011, Vancouver, Kanada
Martens, W.; von Wagner, U.
- A semi-analytical method of solving the Fokker-Planck-equation for highdimensional nonlinear mechanical systems. Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 12, 243-244, 2012
Martens, W.
- Calculation of high-dimensional probability density functions of stochastically excited nonlinear mechanical systems. Nonlinear Dynamics 67(3), 2089-2099, 2012
Martens, W.; von Wagner, U.; Mehrmann, V.
(See online at https://doi.org/10.1007/s11071-011-0131-2)
