Operator-skalierende Zufallsfelder: Struktur, mathematische Darstellung sowie Simulation und statistische Analyse

• Applicant: Professor Dr. Hans-Peter Scheffler
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2007 to 2012
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 55518651

• Final Report Year: 2013

Final Report Abstract

Operator-skalierende Zufallsfelder sind stochastische Modelle zur Beschreibung von räumlichen Abhängigkeitsphänomenen. Die Stärke der räumlichen Abhängigkeiten wird dabei durch Skalierungseigenschaften des Feldes beschrieben. Dabei sind verschieden starke Abhängigkeiten in verschiedene, nicht notwendig orthogonale Richtungen, zugelassen. Die resultierenden anisotropen Felder dienen z.B. der Beschreibung poröser Medien in der Hydrologie oder fraktalen Oberflächen in der Physik. Grundlegende Darstellungen und theoretische Eigenschaften dieser Felder wurden vom Antragsteller in Zusammenarbeit mit Herrn Prof. Meerschaert, Michigan State University, und Dr. Hermine Biermé, Université René Descartes, Paris in den Jahren 2005 bis 2007 bereits erbracht. Um diese Zufallsfelder für die Anwendungen nutzbar zu machen sind effiziente Simulationsalgorithmen sowie statistische Verfahren zur Schätzung der Modellparameter aus realen Daten notwendig. In dem Projekt wurden approximative und effiziente Simulationsalgorithmen entwickelt und in verschiedene Programmiersprachen implementiert. Bei der Entwicklung von Schätzverfahren kam es zu einer Überraschung: Ein neuer, innovativer nicht-linearer Regressionsansatz brachte den Durchbruch bei diesem lange offenen Problem. Als weitere Überaschung ist die neue Anwendung operator-skalierender Zufallsfelder in den Materialwissenschaften zu nennen. Eine im Rahmen des Projekts entstandene Publikation wurde als 2011 highly commended article prämiert. Siehe http://www.tandf.co.uk/journals/authors/tphm-tphl-prize.asp

Publications

• Operator Scaling Stable Random Sheets with application to binary mixtures, Dissertation Universität Siegen, 2011
  A. Hoffmann
  
• Simulation and Estimation of Operator scaling stable random Fields, Dissertation Universität Siegen, 2011
  T. Kegel
  
• Application of operatorscaling anisotropic random fields to binary mixture, Philosophical Magazine, 91 (29), 3766–3792 (2011)
  D. Anders, A. Hoffmann, H.P. Scheffler and K. Weinberg
  
• Multi-operator scaling random fields, Stoch. Proc. Appl. 121 (11), 2642–2677 (2011)
  H. Biermé, C. Lacaux and H.P. Scheffler