Regularisierung mit Singulären Energien
Final Report Abstract
In diesem Projekt wurden mathematische Grundlagen bei der Regularisierung inverser Probleme mit singulären Energien untersucht. Bei einem inversen Problem versucht mittels indirekter Beobachtung eine Unbekannte zu rekonstruieren, auf Grund der Indirektheit und von Messfehlern sind einfache Verfahren aber nicht robust, sondern sogenannte Regularisierungsverfahren müssen angewandt werden. Hier wurden spezielle Variationsmethoden untersucht, d.h. man konstruiert ein Energiefunktional aus zwei Termen: Erstens der Datenterm, der misst wie weit die Beobachtung, die man bei einem gewissen Wert der Unbekannten u erhalten würde, von den gemessenen Daten entfernt ist. Zweitens der Regularisierungsterm, der für a-priori sehr wahrscheinliche Werte von u klein und für a-priori sehr unwahrscheinliche Werte gross ist. Minimiert man nun eine gewichtete Summe der beiden Terme, so erhält man Rekonstruktionen, welche die Messdaten nicht genau reproduzieren (dies sollte wegen des Messfehlers auch nicht zwingend passieren) aber möglichst gut zu a-priori Informationen passen. Regularisierung basierend auf singulären Energien, d.h. Funktionalen die übliche Annahmen wie strikte Konvexität und Differenzierbarkeit nicht erfüllen, wurde im letzten Jahrzehnt ein sehr aktives und populäres Feld. Der Grund dafür ist, dass diese Regularisierungsterme besonders gut strukturelles a-priori Wissen einbauen können. So kann zum Beispiel das 1-Funktional Lösungen mit möglichst vielen Nulleinträgen rekonstruieren (d.h. einfache Erklärungen durch Kombination weniger Elementarbausteine liefern) oder das TV-Funktional Bildrekonstruktionen mit scharfen Kanten liefern. Hauptergebnisse des Projekts sind unter anderem Fehlerabschätzungen für die Qualität der rekonstruierten Lösungen abhängig vom Messfehler, die in einem speziell angepassten Fehlermaß, der sogenannten Bregman Distanz erhalten werden können. Die Abschätzungen sind auf sehr allgemeine Datenterme anwendbar, insbesondere auf Poisson-Rauschen, das bei vielen Anwendungen in der Bildgebung die auf der Messung von Photonen basieren besonders wichtig ist. Dazu konnten neue Methoden konstruiert werden, die einige systematische Fehler der Variationsmethoden (etwa Kontrastverlust bei der TV-Regularisierung) korrigieren und dadurch verbesserte Ergebnisse bringen. Ein überraschendes Ergebnis des Projekts ist, dass unter gewissen Bedingungen der Fehler in der Bregman-Distanz verschwinden kann, sogar bei Daten mit Messfehler. Dies ist tatsächlich nur bei singulären Energien zur Regularisierung der Fall. Man erhält damit exakte Rekonstruktionen von gewissen Strukturen, und es konnte für verschiedene Regularisierungsterme genauer charakterisiert werden, welche Strukturen besonders gut rekonstruierbar sind. Darüber hinaus wurden noch neue praktische Anwendungen der Methoden untersucht und neue Verfahren zur Bestimmung der Dotierung eines Halbleiterbauteils aus Strom-Spannungsdaten sowie zur verbesserten Bildrekonstruktion in der dynamischen Positronen-Emissionstomographie entwickelt.
Publications
- Bregmanized nonlocal regularization for deconvolution and sparse reconstruction. SIAM J. Imaging Sci. 3 (2010), 253-276
X. Zhang, M. Burger, X. Bresson, S. Osher
- (Nonlocal) Total Variation in Medical Imaging. Dissertation, WWU Münster, 2011
A. Sawatzky
- Error estimation with general fidelities. Electronic Trans. Numer. Anal. 38 (2011), 44-68
M. Benning, M. Burger
- Primal and dual Bregman methods with application to optical nanoscopy. IJCV 92 (2011)
C. Brune, A. Sawatzky, M. Burger
- Singular Regularization of Inverse Problems. Dissertation, WWU Münster, 2011
M. Benning
