SFB 647:  Space - Time - Matter: Analytic and Geometric Structures

• Subject Area: Mathematics ; Physics
• Term: from 2005 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5486209

• Final Report Year: 2018

Final Report Abstract

Ziel des auf dem Gebiet der mathematischen Physik arbeitenden Sonderforschungsbereichs (SFB) 647 war es, Synthesen zwischen mathematischen und physikalischen Problemlösungen zu erzielen. Seine Namensgebung geht auf das berühmte Buch „Raum, Zeit, Materie” des Mathematikers Hermann Weyl zurück. In diesen Vorlesungen von 1917 über die gerade neu entstandene Allgemeine Relativitätstheorie (ART) versucht Weyl die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen und physikalischen Denkens darzulegen. Die großartige Darstellung der ART, einschließlich ihrer grundlegenden analytischen und geometrischen Strukturen in genauer Korrespondenz mit den physikalischen Prinzipien, blieb auch noch knapp hundert Jahre später richtungsweisend für die Arbeit dieses SFB. Dies umso mehr, als Weyl bereits einen ersten Vorschlag zur Vereinheitlichung aller damals bekannten Naturkräfte machte, und sogar schon auf das Problem der Quantengravitation hinwies. Damit entdeckte er die enge Verwandtschaft zwischen der Gravitationstheorie und den Eichtheorien. Die Suche nach deren Verbindung in einer immer noch nicht erstellten „Theorie von Allem”, also einer Weltformel, trieb letztlich auch, direkt oder indirekt, die Forschungsarbeit dieses SFB an. Natürlich ist der heutige Problemkreis unverhältnismäßig viel größer als zur Zeit von Weyl. Der SFB 647 hat gleichwohl sein Ziel der eingangs erwähnten Synthese in wesentlichen Teilen verwirklicht, wenn auch notwendigerweise nur in Unterbereichen des großen Gesamtthemas. Zu den wichtigsten Leistungen zählen die folgenden. In sehr viel ausführlicherer Form sind viele essentielle Ergebnisse in einem begleitenden Essay–Band dargestellt. 1. Die unterschiedlichen Raumzeiten der ART sind Mannigfaltigkeiten mit Lorentz–Metriken, deren Holonomie–Klassifikation ein seit langem offenes Problem war. Es wurde nun in einer Reihe von Untersuchungen für geschlossene Raumzeiten gelöst. 2. Das Verhalten des Universums nahe der Urknall–Singularität kann durch eine von Bianchi konstruierte Klasse von „taumelnden” Raumzeiten modelliert werden. Es war jedoch bisher nicht klar, wie es sich schließlich seinem Ursprung nähert. Einer 40 Jahre alten Vermutung der Mathematiker Belinskij, Khalatnikov, Lifschitz (BKL) zufolge sollte sich die Annäherung in einer mathematisch „zahmen” Form vollziehen. Diese Vermutung ist bewiesen worden. 3. Eine 1997 aufgestellte Vermutung von Juan Maldacena, die sogenannte AdS/CFT– Korrespondenz, liefert einen völlig neuen Lösungsansatz zur Vereinheitlichung von Gravitation und Eichtheorien. In gewissen idealisierten integrablen, also exakt lösbaren, Sonderfällen konnten Wissenschaftler des SFB diese Vermutung stark untermauern. Die Entdeckung solcher integrabler Strukturen in Streuamplituden von Eichtheorien sticht hierbei besonders heraus. 4. Zu den Modellen der in vielen Vereinheitlichungsansätzen relevanten Stringtheorie gehören bestimmte Calabi–Yau-Mannigfaltigkeiten. Diese sind jedoch durch die physikalischen Daten nicht eindeutig bestimmt, weshalb Klassifikationsmethoden der algebraischen Geometrie herangezogen werden müssen. Hier wurden einige bemerkenswerte Resultate erzielt. 5. Zu den wichtigsten Operatoren der mathematischen Physik gehört der Dirac-Operator. Seine Spektraltheorie liefert Invarianten, die für Mathematik und Physik große Bedeutung haben, insbesondere durch die Indextheorie. Es wurden sehr gute Ergebnisse erzielt, sowohl für Raumzeiten wie für offene Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Hervorstechend ist der Beweis der Fried-Vermutung, die 1986 formuliert wurde. Die Frage nach den Grundstrukturen einer mathematisch und physikalisch konsistenten vereinheitlichten Theorie der Welt konnte trotz dieser vielversprechenden Resultate noch nicht beantwortet werden. Sie bleibt eine hinreißend spannende Herausforderung für die Zukunft.

Publications

• Polyhedral divisors and algebraic torus actions. Math. Ann., 334 (2006) no.3, 557
  Klaus Altmann, Jürgen Hausen
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00208-005-0705-8)
• Conformal symmetry and the Standard Model. Phys. Lett. B, 648 (2007), 312
  Krzysztof A. Meissner, Hermann Nicolai
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.physletb.2007.03.023)
• G_2–manifolds with parallel characteristic torsion. Differential Geom. Appl., 25 (2007), 632
  Thomas Friedrich
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2007.06.010)
• Holographic formula for Q–curvature. Adv. Math., 216 (2007) issue 2, 841
  C. Robin Graham, Andreas Juhl
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.05.021)
• Symplectic hypersurfaces and transversality in Gromov–Witten theory. J. Symplectic Geom., 5 (2007) no. 3, 281
  Kai Cieliebak, Klaus Mohnke
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0702887)
• Wave equations on Lorentzian manifolds and quantization. Lectures in Mathematics and Physics, Zürich: European Mathematical Society, 2007
  Christian Bär, Nicolas Ginoux, Frank Pfäffle
  (See online at https://doi.org/10.4171/037)
• Local monotonicity and mean value formulas for evolving Riemannian manifolds. J. Reine Angew. Math., 616 (2008), 89
  Klaus Ecker, Dan Knopf, Lei Ni, Peter Topping
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0608470)
• Spectra of self–adjoint extensions and applications to solvable Schrödinger operators. Rev. Math. Phys., 20 (2008) no.1, 1
  Jochen Brüning, Vladimir Geyler, Konstantin Pankrashkin
  (See online at https://doi.org/10.1142/S0129055X08003249)
• Wilson loops in 3–dimensional N=6 supersymmetric Chern–Simons theory and their string theory duals. JHEP, 0811 (2008), 19
  Nadav Drukker, Jan Plefka, Donovan Young
  (See online at https://doi.org/10.1088/1126-6708/2008/11/019)
• Families of conformally covariant differential operators, Q–curvature and holography. Progress in Mathematics Volume 275, Basel: Birkhäuser, 2009
  Andreas Juhl
  (See online at https://doi.org/10.1007/978-3-7643-9900-9)
• Mean curvature flow with surgeries of two–convex hypersurfaces. Invent. Math., 175 (2009), 137
  Gerhard Huisken, Carlo Sinestrari
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00222-008-0148-4)
• The signature operator on manifolds with a conical singular stratum. Astérisque 328 (2009), 1–44
  Jochen Brüning
  
• Yangian symmetry of scattering amplitudes in N=4 super Yang–Mills theory. JHEP, 0905 (2009), 046
  James Drummond, Johannes Henn, Jan Plefka
  (See online at https://doi.org/10.1088/1126-6708/2009/05/046)
• Conformal differential geometry: Q–curvature and conformal holonomy. Oberwolfach Seminars Vol. 40, Basel: Birkhäuser, 2010
  Helga Baum, Andreas Juhl
  (See online at https://doi.org/10.1007/978-3-7643-9909-2)
• The Kodaira dimension of the moduli space of Prym varieties. J. Eur. Math. Soc., 12 (2010), 755
  Gavril Farkas, Katharina Ludwig
  (See online at https://doi.org/10.4171/jems/214)
• A global foliation of Einstein–Euler spacetimes with Gowdy– symmetry on T3. Arch. Ration. Mech. Anal. 201 (2011), 841
  Philippe G. LeFloch, Alan Rendall
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00205-011-0425-z)
• Baxter Q–operators and representations of Yangians. Nucl. Phys. B, 850 (2011), 148
  Vladimir V. Bazhanov, Rouven Frassek, Tomasz Łukowski, Carlo Meneghelli, Matthias Staudacher
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2011.04.006)
• From weak to strong coupling in ABJM theory. Commun. Math. Phys., 306 (2011), 511
  Nadav Drukker, Marcos Marino, Pavel Putrov
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00220-011-1253-6)
• Boundary value problems for elliptic differential operators of first order. Surv. Differ. Geom., 17 (2012), 1
  Christian Bär, Werner Ballmann
  (See online at https://doi.org/10.4310/SDG.2012.v17.n1.a1)
• Local symmetry of harmonic spaces as determined by spectra of small geodesic spheres. Geom. Funct. Analysis, 10 (2012), 1
  T. Arias–Marco, D. Schüth
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00039-012-0146-y)
• Multi–linear formulation of differential geometry and matrix regularizations. J. Differential Geom. 91 (2012), 1
  Joakim Arnlind, Jens Hoppe, Gerhard Huisken
  (See online at https://doi.org/10.4310/jdg/1343133699)
• Harmonic R–matrices for scattering amplitudes and spectral regularization. Phys. Rev. Lett., 110 (2013) issue 12, 121602
  Livia Ferro, Tomasz Łukowski, Carlo Meneghelli, Jan Plefka, Matthias Staudacher
  (See online at https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.121602)
• On the gluing formula for the analytic torsion. Math. Z. 273 (2013), no. 3–4, 1085
  Jochen Brüning, Xiaonan Ma
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00209-012-1045-5)
• Quantization of gauge fields, graph polynomials and graph homology. Annals Phys., 336 (2013), 180
  Dirk Kreimer, Matthias Sars, Walter D. van Suijlekom
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.aop.2013.04.019)
• Schoenflies spheres as boundaries of bounded unstable manifolds in gradient Sturm systems. J. Dynam. Differential Equations, 27(2013) no.3–4, 597
  Bernold Fiedler, Carlos Rocha
  (See online at https://doi.org/10.1007/s10884-013-9311-8)
• The generalized cusp in AdS_4 x CP^3 and more one–loop. J. Phys.A, 46 (2013) vol. 11, 115402
  Valentina Forini, V. Giangreco M. Puletti, O. Ohlsson Sax
  (See online at https://doi.org/10.1088/1751-8113/46/11/115402)
• K– and L–theory of group rings over GL_n(Z). Publ. Math. IHÉS, 119 (2014), 97–125
  Arthur Bartels, Wolfgang Lück, Holger Reich, Henrik Rüping
  (See online at https://doi.org/10.1007/s10240-013-0055-0)
• On the motives of moduli of chains and Higgs bundles. J. Eur. Math. Soc., 16 (2014) vol.12, 2617
  Oscar García–Prada, Jochen Heinloth, Alexander Schmitt
  (See online at https://doi.org/10.4171/jems/494)
• Scattering amplitudes in gauge theories. Lecture Notes in Physics Vol. 883. Heidelberg: Springer, 2014
  Johannes M Henn, Jan Plefka
  (See online at https://doi.org/10.1007/978-3-642-54022-6)
• Spectral parameters for scattering amplitudes in N=4 super Yang–Mills theory. JHEP, 01 (2014), 94
  Livia Ferro, Tomasz Łukowski, Carlo Meneghelli, Jan Plefka, Matthias Staudacher
  (See online at https://doi.org/10.1007/JHEP01(2014)094)
• Analytic torsion, dynamical zeta functions and orbital integrals
  Shu Shen
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1602.00664)
• Cutting through form factors and cross sections of non–protected operators in N=4 SYM. JHEP, 1506 (2015), 156
  Dhritiman Nandan, Christoph Sieg, Matthias Wilhelm, Gang Yang
  (See online at https://doi.org/10.1007/JHEP06(2015)156)
• Scattering amplitudes in N=2 Maxwell–Einstein and Yang–Mills/Einstein supergravity. JHEP 1501 (2015), 081
  Marco Chiodaroli, Murat Günaydin, Henrik Johansson, Radu Roiban
  (See online at https://doi.org/10.1007/JHEP01(2015)081)
• Bianchi VIII and IX vacuum cosmologies: Almost every solution forms particle horizons and converges to the Mixmaster attractor
  Bernhard Brehm
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1606.08058)
• Cauchy problems for Lorentzian manifolds with special holonomy. Differ. Geom. Appl., 45 (2016), 43
  Helga Baum, Thomas Leistner, Andree Lischewski
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2015.11.007)
• Composite operators in the twistor formulation of N=4 supersymmetric Yang–Mills theory. Phys. Rev. Lett., 117 (2016) no.1, 011601
  Laura Koster, Vladimir Mitev, Matthias Staudacher, Matthias Wilhelm
  (See online at https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.011601)
• Covariant Schrödinger semigroups on noncompact Riemannian manifolds. Habilitation thesis HU, 2016
  Batu Güneysu
  
• Degenerating Hermitian metrics and spectral geometry of the canonical bundle
  Francesco Bei
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1607.00289)
• The N=2 superconformal bootstrap. JHEP, 1603 (2016), 183
  Christopher Beem, Madalena Lemos, Pedro Liendo, Leonardo Rastelli, Balt C. van Rees
  (See online at https://doi.org/10.1007/JHEP03(2016)183)
• Inaudibility of sixth order curvature invariants. Rev. R. Acad. Cienc. Exakt, Phys. Nat. Madr., 111 (2017), 547
  Teresa Arias–Marco, Dorothee Schüth
  (See online at https://doi.org/10.1007/s13398-016-0311-5)