SFB 647: Raum - Zeit - Materie: Analytische und Geometrische Strukturen
Physik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ziel des auf dem Gebiet der mathematischen Physik arbeitenden Sonderforschungsbereichs (SFB) 647 war es, Synthesen zwischen mathematischen und physikalischen Problemlösungen zu erzielen. Seine Namensgebung geht auf das berühmte Buch „Raum, Zeit, Materie” des Mathematikers Hermann Weyl zurück. In diesen Vorlesungen von 1917 über die gerade neu entstandene Allgemeine Relativitätstheorie (ART) versucht Weyl die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen und physikalischen Denkens darzulegen. Die großartige Darstellung der ART, einschließlich ihrer grundlegenden analytischen und geometrischen Strukturen in genauer Korrespondenz mit den physikalischen Prinzipien, blieb auch noch knapp hundert Jahre später richtungsweisend für die Arbeit dieses SFB. Dies umso mehr, als Weyl bereits einen ersten Vorschlag zur Vereinheitlichung aller damals bekannten Naturkräfte machte, und sogar schon auf das Problem der Quantengravitation hinwies. Damit entdeckte er die enge Verwandtschaft zwischen der Gravitationstheorie und den Eichtheorien. Die Suche nach deren Verbindung in einer immer noch nicht erstellten „Theorie von Allem”, also einer Weltformel, trieb letztlich auch, direkt oder indirekt, die Forschungsarbeit dieses SFB an. Natürlich ist der heutige Problemkreis unverhältnismäßig viel größer als zur Zeit von Weyl. Der SFB 647 hat gleichwohl sein Ziel der eingangs erwähnten Synthese in wesentlichen Teilen verwirklicht, wenn auch notwendigerweise nur in Unterbereichen des großen Gesamtthemas. Zu den wichtigsten Leistungen zählen die folgenden. In sehr viel ausführlicherer Form sind viele essentielle Ergebnisse in einem begleitenden Essay–Band dargestellt. 1. Die unterschiedlichen Raumzeiten der ART sind Mannigfaltigkeiten mit Lorentz–Metriken, deren Holonomie–Klassifikation ein seit langem offenes Problem war. Es wurde nun in einer Reihe von Untersuchungen für geschlossene Raumzeiten gelöst. 2. Das Verhalten des Universums nahe der Urknall–Singularität kann durch eine von Bianchi konstruierte Klasse von „taumelnden” Raumzeiten modelliert werden. Es war jedoch bisher nicht klar, wie es sich schließlich seinem Ursprung nähert. Einer 40 Jahre alten Vermutung der Mathematiker Belinskij, Khalatnikov, Lifschitz (BKL) zufolge sollte sich die Annäherung in einer mathematisch „zahmen” Form vollziehen. Diese Vermutung ist bewiesen worden. 3. Eine 1997 aufgestellte Vermutung von Juan Maldacena, die sogenannte AdS/CFT– Korrespondenz, liefert einen völlig neuen Lösungsansatz zur Vereinheitlichung von Gravitation und Eichtheorien. In gewissen idealisierten integrablen, also exakt lösbaren, Sonderfällen konnten Wissenschaftler des SFB diese Vermutung stark untermauern. Die Entdeckung solcher integrabler Strukturen in Streuamplituden von Eichtheorien sticht hierbei besonders heraus. 4. Zu den Modellen der in vielen Vereinheitlichungsansätzen relevanten Stringtheorie gehören bestimmte Calabi–Yau-Mannigfaltigkeiten. Diese sind jedoch durch die physikalischen Daten nicht eindeutig bestimmt, weshalb Klassifikationsmethoden der algebraischen Geometrie herangezogen werden müssen. Hier wurden einige bemerkenswerte Resultate erzielt. 5. Zu den wichtigsten Operatoren der mathematischen Physik gehört der Dirac-Operator. Seine Spektraltheorie liefert Invarianten, die für Mathematik und Physik große Bedeutung haben, insbesondere durch die Indextheorie. Es wurden sehr gute Ergebnisse erzielt, sowohl für Raumzeiten wie für offene Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Hervorstechend ist der Beweis der Fried-Vermutung, die 1986 formuliert wurde. Die Frage nach den Grundstrukturen einer mathematisch und physikalisch konsistenten vereinheitlichten Theorie der Welt konnte trotz dieser vielversprechenden Resultate noch nicht beantwortet werden. Sie bleibt eine hinreißend spannende Herausforderung für die Zukunft.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Polyhedral divisors and algebraic torus actions. Math. Ann., 334 (2006) no.3, 557
Klaus Altmann, Jürgen Hausen
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00208-005-0705-8) - Conformal symmetry and the Standard Model. Phys. Lett. B, 648 (2007), 312
Krzysztof A. Meissner, Hermann Nicolai
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.physletb.2007.03.023) - G_2–manifolds with parallel characteristic torsion. Differential Geom. Appl., 25 (2007), 632
Thomas Friedrich
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2007.06.010) - Holographic formula for Q–curvature. Adv. Math., 216 (2007) issue 2, 841
C. Robin Graham, Andreas Juhl
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.aim.2007.05.021) - Symplectic hypersurfaces and transversality in Gromov–Witten theory. J. Symplectic Geom., 5 (2007) no. 3, 281
Kai Cieliebak, Klaus Mohnke
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0702887) - Wave equations on Lorentzian manifolds and quantization. Lectures in Mathematics and Physics, Zürich: European Mathematical Society, 2007
Christian Bär, Nicolas Ginoux, Frank Pfäffle
(Siehe online unter https://doi.org/10.4171/037) - Local monotonicity and mean value formulas for evolving Riemannian manifolds. J. Reine Angew. Math., 616 (2008), 89
Klaus Ecker, Dan Knopf, Lei Ni, Peter Topping
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Jochen Brüning, Vladimir Geyler, Konstantin Pankrashkin
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Nadav Drukker, Jan Plefka, Donovan Young
(Siehe online unter https://doi.org/10.1088/1126-6708/2008/11/019) - Families of conformally covariant differential operators, Q–curvature and holography. Progress in Mathematics Volume 275, Basel: Birkhäuser, 2009
Andreas Juhl
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Gerhard Huisken, Carlo Sinestrari
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Jochen Brüning
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James Drummond, Johannes Henn, Jan Plefka
(Siehe online unter https://doi.org/10.1088/1126-6708/2009/05/046) - Conformal differential geometry: Q–curvature and conformal holonomy. Oberwolfach Seminars Vol. 40, Basel: Birkhäuser, 2010
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Vladimir V. Bazhanov, Rouven Frassek, Tomasz Łukowski, Carlo Meneghelli, Matthias Staudacher
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Nadav Drukker, Marcos Marino, Pavel Putrov
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00220-011-1253-6) - Boundary value problems for elliptic differential operators of first order. Surv. Differ. Geom., 17 (2012), 1
Christian Bär, Werner Ballmann
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Livia Ferro, Tomasz Łukowski, Carlo Meneghelli, Jan Plefka, Matthias Staudacher
(Siehe online unter https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.121602) - On the gluing formula for the analytic torsion. Math. Z. 273 (2013), no. 3–4, 1085
Jochen Brüning, Xiaonan Ma
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Dirk Kreimer, Matthias Sars, Walter D. van Suijlekom
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Valentina Forini, V. Giangreco M. Puletti, O. Ohlsson Sax
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Arthur Bartels, Wolfgang Lück, Holger Reich, Henrik Rüping
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Oscar García–Prada, Jochen Heinloth, Alexander Schmitt
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Livia Ferro, Tomasz Łukowski, Carlo Meneghelli, Jan Plefka, Matthias Staudacher
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/JHEP01(2014)094) - Analytic torsion, dynamical zeta functions and orbital integrals
Shu Shen
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1602.00664) - Cutting through form factors and cross sections of non–protected operators in N=4 SYM. JHEP, 1506 (2015), 156
Dhritiman Nandan, Christoph Sieg, Matthias Wilhelm, Gang Yang
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Marco Chiodaroli, Murat Günaydin, Henrik Johansson, Radu Roiban
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/JHEP01(2015)081) - Bianchi VIII and IX vacuum cosmologies: Almost every solution forms particle horizons and converges to the Mixmaster attractor
Bernhard Brehm
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1606.08058) - Cauchy problems for Lorentzian manifolds with special holonomy. Differ. Geom. Appl., 45 (2016), 43
Helga Baum, Thomas Leistner, Andree Lischewski
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2015.11.007) - Composite operators in the twistor formulation of N=4 supersymmetric Yang–Mills theory. Phys. Rev. Lett., 117 (2016) no.1, 011601
Laura Koster, Vladimir Mitev, Matthias Staudacher, Matthias Wilhelm
(Siehe online unter https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.011601) - Covariant Schrödinger semigroups on noncompact Riemannian manifolds. Habilitation thesis HU, 2016
Batu Güneysu
- Degenerating Hermitian metrics and spectral geometry of the canonical bundle
Francesco Bei
(Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1607.00289) - The N=2 superconformal bootstrap. JHEP, 1603 (2016), 183
Christopher Beem, Madalena Lemos, Pedro Liendo, Leonardo Rastelli, Balt C. van Rees
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/JHEP03(2016)183) - Inaudibility of sixth order curvature invariants. Rev. R. Acad. Cienc. Exakt, Phys. Nat. Madr., 111 (2017), 547
Teresa Arias–Marco, Dorothee Schüth
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s13398-016-0311-5)
