Detailseite
Projekt
FOR 570: Algebraische Zykel und L-Funktionen
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2005 bis 2012
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5471524
Das Forschungsgebiet gehört innerhalb der Mathematik zur Schnittmenge aus Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie. Grundlegend in der Zahlentheorie ist die Aufgabe, algebraische Gleichungen zu lösen und soweit wie möglich quantitative und qualitative Aussagen über diese Lösungen zu treffen. Es hat sich als zweckmäßig herausgestellt, die Anzahl der Lösungen (über endlichen Körpern zu jeder Primzahl p) in der so genannten L-Funktion zu kodieren. Viele grundlegende Aussagen lassen sich aus den Eigenschaften dieser L-Funktion ablesen oder sollten sich aus der L-Funktion ablesen lassen. Hierzu gehören die Riemann sche Vermutung über die Verteilung der Primzahlen genauso wie die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung, zwei der sieben Millenium-Probleme der Mathematik.
Im Jahr 1989 haben Bloch und Kato, in Verallgemeinerung der Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung, einen sehr präzisen Zusammenhang zwischen speziellen Werten der L-Funktion und gewissen geometrisch-algebraischen Invarianten (den algebraischen Zykeln oder genauer der motivischen Kohomologie) des zugrunde liegenden Gleichungssystems vorhergesagt. Der Zusammenhang wird dadurch so erstaunlich, dass die L-Funktion zwar nur mittels lokaler Information für jede Primzahl p gebildet wird, jedoch globale Invarianten kennt , die nicht nur von p abhängen. Bisher konnte diese wichtige Vermutung allerdings nur in wenigen Fällen verifiziert werden.
Ziel der Forschergruppe ist es, einerseits für weitere Klassen von algebraischen Gleichungen diese Vermutung zu beweisen und andererseits die in die Formulierung der Vermutung einfließenden Theorien weiterzuentwickeln. Hierbei handelt es sich um die motivische Kohomologie, die etale Kohomologie und geometrische Klassenkörpertheorie, Iwasawa-Theorie und Arakelov-Theorie. Außerdem spielen automorphe Formen und Polylogarithmen eine wichtige Rolle. Darüber hinaus gibt es auch interessante Anknüpfungspunkte zur Topologie, zur Homotopietheorie und sekundären charakteristischen Klassen. Diese Vielseitigkeit der benutzten Resultate und Theorien lässt umgekehrt eine große Ausstrahlung der erzielten Ergebnisse erwarten.
Im Jahr 1989 haben Bloch und Kato, in Verallgemeinerung der Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung, einen sehr präzisen Zusammenhang zwischen speziellen Werten der L-Funktion und gewissen geometrisch-algebraischen Invarianten (den algebraischen Zykeln oder genauer der motivischen Kohomologie) des zugrunde liegenden Gleichungssystems vorhergesagt. Der Zusammenhang wird dadurch so erstaunlich, dass die L-Funktion zwar nur mittels lokaler Information für jede Primzahl p gebildet wird, jedoch globale Invarianten kennt , die nicht nur von p abhängen. Bisher konnte diese wichtige Vermutung allerdings nur in wenigen Fällen verifiziert werden.
Ziel der Forschergruppe ist es, einerseits für weitere Klassen von algebraischen Gleichungen diese Vermutung zu beweisen und andererseits die in die Formulierung der Vermutung einfließenden Theorien weiterzuentwickeln. Hierbei handelt es sich um die motivische Kohomologie, die etale Kohomologie und geometrische Klassenkörpertheorie, Iwasawa-Theorie und Arakelov-Theorie. Außerdem spielen automorphe Formen und Polylogarithmen eine wichtige Rolle. Darüber hinaus gibt es auch interessante Anknüpfungspunkte zur Topologie, zur Homotopietheorie und sekundären charakteristischen Klassen. Diese Vielseitigkeit der benutzten Resultate und Theorien lässt umgekehrt eine große Ausstrahlung der erzielten Ergebnisse erwarten.
DFG-Verfahren
Forschungsgruppen
Projekte
- A1-Homotopietheorie und Arithmetik (Antragsteller Schmidt, Alexander )
- Arithmetische Erweiterungen und Bierweiterungen für algebraische Zykel (Antragsteller Künnemann, Klaus )
- Arithmetische Erweiterungen und ihre Ext-Gruppen (Antragsteller Künnemann, Klaus )
- Endlichkeitssätze in der motivischen Kohomologie (Antragsteller Jannsen, Uwe )
- Homotopieinvarianten arithmetischer Schemata (Antragsteller Schmidt, Alexander )
- Iwasawa Theorie und p-adische L-Funktionen (Antragstellerin Huber-Klawitter, Annette )
- Neue Kohomologietheorien in Charakteristik p und 0 (Antragsteller Jannsen, Uwe )
- Polylogarithmen und spezielle Werte von L-Funktionen (Antragsteller Kings, Guido )
- Tamagawazahlen, p-adische Regulatoren und spezielle Werte von L-Funktionen (Antragstellerinnen / Antragsteller Huber-Klawitter, Annette ; Kings, Guido )
- Triangulierte Motive und A^1-Homotopietheorie (Antragstellerin Huber-Klawitter, Annette )
- Zentralprojekt (Antragstellerinnen / Antragsteller Huber-Klawitter, Annette ; Kings, Guido )
Sprecher
Professor Dr. Guido Kings
stellvertr. Sprecherin
Professorin Dr. Annette Huber-Klawitter
