Minorentheorie in 3D und Zusammenhang

• Antragsteller: Professor Dr. Johannes Carmesin
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 546892829

Die Minorentheorie verbindet Ideen aus Topologie und Graphentheorie und hat viele algorithmische Anwendungen. Der Ursprung sind Kuratowskis Charakterisierung von Graphenplanarität durch verboten Minoren sowie die berühmte Hadwiger Vermutung, eine weitreichende Verallgemeinerung des 4-Farben-Satzes. Ein wichtiger Aspekt der Minorentheorie ist die Beziehung zwischen Einbettungen von Graphen in 2-dimensionale Flächen und der Minoren-Relation. Dabei wird ein Minor eines Graphen erzeugt, indem man Kanten löscht oder sie zu einer Ecke kontrahiert. In dem Kontext von planaren Graphen ist die Minoren-Relation besonders natürlich; man kann sie auffassen als den Abschluss der Teilgraphen-Relation unter Graphenplanarität. Die Erkundung dieser Theorie begann in den 1930er Jahren mit Kuratowskis Satz und brachte den Beweis des Robertson-Seymour-Satzes hervor, der oft als tiefster Satz der Kombinatorik angesehen wird. Die Graphenminorentheorie von Robertson und Seymor hatte einen transformativen Einfluss auf Kombinatorik als Ganzes mit tiefliegenden Konsequenzen in der Informatik. Ganz grob, der Struktursatz etabliert eine Beziehung zwischen der Minoren-Relation und Einbettungen in 2-dimensionale Flächen. Das einfachste Beispiel dafür ist Kuratowski’s Planaritätskriterium von 1930, welches Graphenplanarität durch verbotene Minoren charakterisiert. Vor Kurzem, habe ich ein 3-dimensionales Analog dieses Satzes bewiesen und damit drei Fragen aus unterschiedlichen Gebieten von Lovasz, Pardon und Wagner beantwortet. Dies legt nahe, dass die Minorentheorie sich von 2 auf 3 Dimensionen erweitern lässt. Gibt dies einen neuen Zugang zu wohlbekannten Problemen über 3-Mannigfaltigkeiten? Solche Probleme tauchen in reiner Mathematik und in Anwendungen in den Ingenieurwissenschaften auf: in der Tat ist Perelmans Satz eine wichtige Zutat meines neuen 3D-Kuratowski-Satzes, und somit verbindet mein Resultat Kombinatorik, Geometrie und Topologie. Es gibt das Potential für Anwendungen in Computer Aided Design. Mein Hauptziel dieses Programms ist die Entwicklung einer Graphenminorentheorie für 2-Komplexe. Ich erwarte, dass sich eine reichhaltige Theorie mit vielen spannenden Fragen entwickelt, die Beziehungen zu Kombinatorik (im Besonderen Graphenminorentheorie und Zusammenhang), Algebra (genauer: Matroidtheorie), Differentialgeometrie und Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten und Algorithmen hat. Einer meiner ersten Erfolge in diese Richtung ist ein quadratischer Algorithmus, der überprüft, ob ein einfach zusammenhängender 2-Komplex in den 3-dimensionalen Raum einbettbar ist. Ich plane intensiv in diese Richtung weiterzuforschen. Ein zweites Standbein meines Programms ist die Entwicklung neuer Methoden für extremale Fragen in Graphenminoren und Zusammenhang. Einerseits tauchen diese Fragen in Anwendungen auf. Andererseits stellen sie fundamentale Werkzeuge für die Theorie bereit. Dieser Antrag enthält einen neuen Ansatz für ein fundamentales Problem von 1970.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen