Auslegung robuster Regelungen für nichtlineare dynamische Systeme mit unsicheren Parametern mit Methoden der Nichtlinearen Dynamik
Final Report Abstract
In dem Projekt wurde eine Methode entwickelt, die so genannte Normalenvektormetho- de, die es ermöglicht, erwünschte dynamische Eigenschaften eines nichtlinearen Systems in ein optimierungsbasiertes Entwurfsproblem zu integrieren. Üblicherweise wird für den Systementwurf die Dynamik des Systems zunächst nicht berücksichtigt. Erst nach Festlegung des Systementwurfs, beispielsweise durch die mathematische Optimierung in Bezug auf eine ökonomische Gütefunktion, wird mit Simulationsstudien und durch Analyse der Ergebnisse die Systemdynamik untersucht und ein geeigneter Regler festgelegt. Falls gewünschte dynamische Eigenschaften nicht erfüllt werden können, muss der Systementwurf modifiziert werden. Mit der Normalenvektormethode erfolgen System- und Reglerauslegung in einem Schritt. Die gefundene Lösung ist zum einen optimal bezüglich der gewählten Gütefunktion, zum anderen können die gewünschten dynamischen Eigenschaften trotz Unsicherheiten garantiert werden. Dadurch können suboptimale Lösungen und kostspielige Iterationen zwischen System- und Reglerentwurf, die durch das Übliche zweistufige Vorgehen entstehen, vermieden werden. Die grundlegende Idee der Normalenvektormethode ist es, im Raum der Systemparameter Abstandsbedingungen zu kritischen Grenzen zu formulieren, an denen sich das Systemverhalten qualitativ Ändert. für die Abstandsbedingungen ist die Berechnung der Normalenrichtung der kritischen Grenze erforderlich. Durch die Festlegung einer unteren Grenze für den Abstand zwischen dem Arbeitspunkt und dem nächsten kritischen Punkt, die nicht unterschritten werden darf, können gewünschte Systemeigenschaften trotz Unsicherheiten und Störungen garantiert werden. In einem Vorgängerprojekt wurde die Normalenvektormethode für kritische Grenzen stationärer Punkte, beispielsweise Stabilitätsgrenzen, entwickelt. Unsicherheiten konnten unter der Annahme berücksichtigt werden, dass diese sich nur langsam im Vergleich zur Systemdynamik, also quasistationär, verändern. Schnelle Störungen konnten nicht berücksichtigt werden. In dem beantragten Projekt wurde deshalb die Normalenvektormethode auf kritische Grenzen des transienten Verhaltens nichtlinearer Systeme in Anwesenheit schneller Störungen erweitert. Die schnellen Störungen werden durch einfache mathematische Terme dargestellt, die mit unsicheren Parameter parametriert sind, z. B. eine Sinusschwingung mit unsicherer Amplitude und unsicherer Frequenz. Durch Abstandsbedingungen auf kritische Grenzen von Grazing-Punkten oder Endpunktbedingungen kann sichergestellt werden, dass Systemschranken, etwa Sicherheitsgrenzen, für den optimalen Systementwurf trotz der schnellen Störungen eingehalten werden. Grazing-Punkte sind Trajektorien, die eine Systemschranke an einem Zeitpunkt berühren jedoch nicht Überschreiten. Eine Endpunkt-Bedingung ist dann erfüllt, wenn eine Trajektorie eine Schranke zu einem festgelegten Zeitpunkt erreicht. Neben der robusten Einhaltung von Systemschranken können Normalenvektorbedingungen auf Grazing-Punkten und Endpunktbedingungen auch eingesetzt werden, um zu garantieren, dass ein System den Einzugsbereich eines gewünschten Arbeitspunkt trotz Störungen nicht verlässt. Die Methode wurde auf zahlreiche Fallbeispiele aus der Verfahrenstechnik angewendet. Die Anwendung auf ein Modell eines kompletten verfahrenstechnischen Prozesses mit mehr als 500 Gleichungen und zehn unsicheren Parametern beweist, dass die Methode auch für die Optimierung größerer Modelle eingesetzt werden kann. Insbesondere zeigt sich hier die Stärke der Methode, eine größere Zahl an unsicheren Parametern berücksichtigen zu können. Die heute Üblichen auf Simulationsstudien basierende Vorgehensweise benötigte für zehn unsichere Parameter eine sehr große Anzahl von Simulationen und einen erheblichen Aufwand für deren Auswertung. Die Normalenvektormethode hingegen ist in der Lage automatisch, die kritischsten Parameterwerte zu bestimmen und die System- und Reglerparameter entsprechend auszulegen. In der Regel wird nur eine geringe Anzahl an Normalenvektorbedingungen für den robusten Entwurf benötigt. Bei dem kompletten verfahrenstechnischen Prozess wurden beispielsweise vier Normalenvektorbedingungen berücksichtigt.
Publications
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