Approximation komplexer Strukturen in Funktionalanalysis und Geometrie

• Applicant: Professor Dr. Aicke Hinrichs
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2005 to 2012
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5447872

• Final Report Year: 2012

Final Report Abstract

Komplexe Strukturen durch einfachere, standardisierte Strukturen zu approximieren ist eine zentrale Methodik, die in der Mathematik in vielen Gebieten genutzt wird. Das Studium der Approximation und der Fehler, die man dabei macht, gibt Auskunft uber die Struktur selbst und quantifiziert ihre Komplexität. So approximiert man in Funktionalanalysis und Numerik Operatoren durch endlichdimensionale Operatoren oder weiter eingeschränkte Klassen von Operatoren, die nur punktuelle Information des Ausgangsoperators nutzen. Ziel des Projektes war es, solche Approximationen in Funktionalanalysis, Geometrie und Numerik zu studieren. Während am Anfang der Arbeit die Approximation von Operatoren, also eine genuin funktionalanalytische Frage, im Vordergrund stand, hat sich der Schwerpunkt bei der Arbeit später auf Anwendungen in der theoretischen Numerik verschoben. Hier standen insbesondere Fragen der Gleichverteilung von Punkten, der sogenannten Diskrepanztheorie, und deterministische und randomisierte Algorithmen für Integration und Approximation multivariater Funktionen im Zentrum. Über die Hlawka-Zaremba-Dualität gibt die Diskrepanz einer Punktmenge Auskunft über den Fehler von Quasi-Monte-Carlo-Algorithmen zur Integration. Zentrale Ergebnisse dieser Arbeit sind: • optimale Weyl-Ungleichungen zur Bestimmung des Eigenwertverhaltens von Operatoren in Banachräumen • die Lösung des Dualitätsproblems für Operatoren vom Fouriertyp • gute und optimale deterministische und randomisierte Algorithmen zur Integration von Funktionen mit einer großen Anzahl von Variablen • untere Abschätzungen für die Komplexität von Integrations- und Approximationsproblemen für Funktionen mit einer großen Anzahl von Variablen.

Publications

• Optimal Weyl inequalitiy in Banach spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2006), 731–735
  Aicke Hinrichs
  
• Cubature formula for symmetric measures in higher dimensions with few points. Math. Comp. 76 (2007), 1357–1372
  Aicke Hinrichs, E. Novak
  
• Duality of Fourier type with respect to locally compact abelian groups. Israel J. Math. 157 (2007), 209–218
  Aicke Hinrichs, H. H. Lee
  
• Optimal Weyl-type inequalities for operators in Banach spaces. Positivity 11 (2007), 41–55
  Aicke Hinrichs, B. Carl
  
• Linear information versus function evaluations for L2 -approximation. J. Approx. Theory 153 (2008), 97–107
  Aicke Hinrichs, E. Novak and J. Vybiral
  
• On s-numbers and Weyl inequalities of operators in Banach spaces. Bull. London Math. Soc. 41 (2009), 332–340
  Aicke Hinrichs, B. Carl
  
• Discrepancy of Hammersley points in Besov spaces of dominating mixed smoothness. Math. Nachr. 283 (2010), 478–488
  Aicke Hinrichs
  
• Optimal Importance Sampling for the Approximation of Integrals. J. Complexity 26 (2010), 125–134
  Aicke Hinrichs
  
• p-nuclear operators in the sense of Grothendieck. Math. Nachr. 283 (2010), 232–261
  Aicke Hinrichs, A. Pietsch
  
• Johnson-Lindenstrauss lemma for circulant matrices. Random Structures Algorithms 39 (2011), 391–398
  Aicke Hinrichs, J. Vybiral