Transfer-Operatoren und nicht-arithmetisches Quantenchaos

• Applicant: Professor Dr. Dieter Mayer
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2005 to 2008
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5443346

Nur wenige der zumeist auf numerischen Untersuchungen beruhenden Vermutungen und Vorhersagen in der Theorie des Quantenchaos können bisher streng bewiesen werden. Eine Ausnahme bilden die Systeme des sogenannten arithmetischen Quantenchaos, d.h. die quanitisierten geodätischen Flüsse auf Flächen konstanter negativer Krümmung, die mittels Fuchs'scher Gruppen mit einfachen arithmetischen Eigenschaften definiert werden. Ein typisches Beispiel ist die Modulgruppe SL(2,Z) mit ganzzahligen Matrixelementen. Für solche Systeme können bekannte Methoden der analytischen Zahlentheorie wie die Spurformel oder die Theorie der Hecke-Operatoren angewandt werden. Für die Modulflächen wurde parallel zu diesem klassischen Zugang zum Quantenchaos von uns in den letzten Jahren ein mehr dynamisch orientierter Zugang mittels der sogenannten Transfer-Operatoren entwickelt, welche den zugrundeliegenden klassischen geodätischen Flüssen zugeordnet sind. Im vorgeschlagenen Forschungsprojekt soll diese Methode für geodätische Flüsse auf nicht-arithmetischen Flächen konstanter negativer Krümmung und deren Quantisierung erweitert werden. Paradebeispiele solcher Flächen sind die sogenannten Hecke'schen Dreiecksflächen, die durch die von den Transformationen z' = -1/z und z' = z + lq, lq = 2cos p/q, q = 3,4, ... erzeugten Hecke'schen Dreiecksgruppen Gq definiert werden. Für q ungleich 3,4,6 sind diese Gruppen nicht-arithmetisch. Die geodätischen Flüsse auf diesen Flächen sind in der Literatur bereits im Rahmen der Ergodentheorie ausführlich untersucht worden, insbesondere gilt dies für deren klassisches Längenspektrum. Die dabei deutlich gewordene Analogie der symbolischen Beschreibung zu der der Modulflächen lässt uns erwarten, dass auch für diese Flächen die Transfer-Operator Methode erfolgreich angewandt werden kann. Hinzu kommt natürlich auch, dass für diese Gruppen umfangreiche numerische Resultate vorliegen, welche in den verschiedenen Entwicklungsstadien der geplanten Untersuchungen zum Vergleich herangezogen werden können.

• DFG Programme: Research Grants