Adaptive anisotrope Finite-Elemente-Diskretisierungen für elliptische Randwertaufgaben
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Der Antragsteller/Berichterstatter beschäftigt sich seit vielen Jahren mit Randwertaufgaben, deren Lösung, zumindest in Teilen des Gebiets, anisotropes Lösungsverhalten besitzt. Als Beispiele dienen Probleme aus der Thermodynamik oder der Elstizitätstheorie, bei denen das Gebiet Kanten oder Risse hat, bei denen das Material anisotrope Eigenschaften besitzt oder bei denen verschiedene Materialien kombiniert (Verbundmaterialien) eingesetzt werden. Auch singular gestörte Probleme, das sind Probleme mit kleinen Parametern, führen zu anisotropem Lösungsverhalten in Rand- oder inneren Schichten. Eine optimale Disktrisierung muss diese Anisotropie der Lösung berücksichtigen. Wir verwenden anisotrop lokal verfeinerte Finite-Elemente-Netze. Die Besonderheit besteht darin, dass anisotrope finite Elemente in eine oder mehrere Raumrichtungen gestreckt sind, ein großes Streckungsverhältnis aufweisen. Währen bei isotropen Netzen das Streckungsverhältnis durch eine moderate Konstante beschränkt ist, die auch als Konstante in Fehlerabschätzungen auftreten darf, existiert eine solche Konstante bei anisotropen Netzen nicht oder sie ist so groß, dass sie nicht als Faktor in Fehlerabschätzungen tolerierbar ist. Die Herausforderung besteht also darin, Diskretisierungsverfahren daraufhin zu untersuchen, ob durch die Verwendung anisotroper Netze tatsächlich die Approximation verbessert wird und dies im positiven Fall auch zu beweisen. Die Beweise sind im Vergleich zu isotropen Netzen aufwendiger, da sie ohne die oben genannte Konstante auskommen müssen. Im Projekt wurden eine Reihe von Ergebnissen zu a priori Abschätzungen und a posteriori Schätzungen des Diskretisierungsfehlers bei der numerischen Lösung verschiedener Randwertaufgaben auf anisotropen Netzen erzielt. Dabei wurden verschiedene singular gestörte Differentialgleichungen betrachtet: eine lineare Reaktions-Diffusions-Gleichung, eine Reaktions- Konvektions-Diffusions-Gleichung mit anisotropem Diffusionstensor, ein System von zwei Differentialgleichungen 2. und 4. Ordnung, sowie die Oseen-Gleichungen. A priori Fehlerabschätzungen dienen dazu, die Verwendbarkeit verschiedener Diskretisierungen prinzipiell zu klären, also die Stabilität und die Konvergenz zu untersuchen. Bei den a posteriori Fehlerschätzungen wurde für verschiedene Methoden die Äquivalenz von geschätzem Fehler und tatsächlichem Fehler bewiesen. Desweiteren wurde eine Methode vorgeschlagen, wie man hierarchische anisotrope Netze adaptiv generieren kann, und für die zudem die Konvergenz des adaptiven Algorithmus bewiesen werden konnte.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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G- Lube, Th. Apel und T. Knopp. Stabilized finite element methods with anisotropic mesh refinement for the Oseen problem. In G. Lube und G. Rapin (Editoren), Int. Conference on Boundary and Interior Layers, BAIL 2006. University of Göttingen, Germany, 2006. 8 pages
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G. Acosta, Th. Apel, R. G. Durän und A. L. Lombardi. Anisotropie error estimates for an interpolant defined via moments. Computing, 82:1-9, 2008.
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S. Grosman. Adaptivity in anisotropic finite element calculations. PhD thesis, TU Chemnitz, 2006.
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S. Grosman. An equilibrated residual method with a computable error approximation for a singularly perturbed reaction-diffusion problem on anisotropic finite element meshes. Math. Model. Numer. Anal, 40:239-267, 2006.
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Th. Apel und G. Matthies. Non-conforming, anisotropic, rectangular finite elements of arbitrary order for the Stokes problem. SIAM J. Numer. Anal, 46:1867-1891, 2008.
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Th. Apel und S. Nicaise. A posteriori error estimations of a SUPG method for anisotropic diffusion-convection-reaction problems. C. R. Acad. Sei. Paris, Ser. /, 345:657-662, 2007.
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Th. Apel, T. Knopp und G. Lube. Stabilized finite element methods with anisotropic mesh refinement for the Oseen problem. Appl. Numer. Math. 2007. (Siehe online unter: doi:10.1016/j.apnum.2007.11,016)
