Schnelle und stabile numerische Lösung hochfrequenter elektromagnetischer Probleme mittels verallgemeinerter Integralgleichungen und moderner Vorkonditionierungstechniken

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Simon Adrian
• Fachliche Zuordnung: Kommunikationstechnik und -netze, Hochfrequenztechnik und photonische Systeme, Signalverarbeitung und maschinelles Lernen für die Informationstechnik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 544296727

Die Momentenmethode zur Lösung elektromagnetischer Streu- und Ausstrahlungsprobleme mittels Integralgleichungen ist ein bewährter Ansatz. Die Matrix des Momentensystems ist jedoch dicht-besetzt und daher rechenaufwendig in der Konstruktion, Speicherung und Verwendung. Bei der Modellierung realistischer Systeme, die mehrere Wellenlängenskalen umfassen, leiden sie außerdem unter dem „dense-discretization“ und dem „high-frequency breakdown“. Diese Erscheinungsformen der schlechten Konditionierung führen zu langsamer (oder gar keiner) Konvergenz iterativer Löser und zu großer Ungenauigkeit direkter Löser. Die Forschung im Bereich der schnellen Integralgleichungslöser hat sich auf die Entwicklung effizienter Momenten-Matrix-Darstellungen und gut konditionierter Formulierungen konzentriert. Hierarchische Strukturen aus algebraisch niedrigrangigen komprimierten Blöcken sind eine kern-unabhängige, geometrieunabhängige und einfach zu implementierende Wahl der Matrixdarstellung. Sie sind auch die Grundlage für schnelle direkte Löser. Allerdings sind sie beschränkt durch das schnelle asymptotische Wachstum der Blockränge mit der Frequenz, was eine Reduktion der asymptotischen Komplexität verhindert. Um eine schlechte Konditionierung der Momentenmatrix zu verhindern, wurden Calderón-artige Vorkonditionierer erfolgreich eingesetzt. In dem Projekt werden die Integralgleichungen so modifiziert, dass eine stärkere Kompressibilität erreicht und die schlechte Konditionierung mittels geeigneten Vorkonditionierern verhindert wird. In einem Schwerpunkt der Arbeit werden Integralgleichungsformulierungen mit reduziertem und langsam skalierendem Rang abgeleitet und schnelle Algorithmen entwickelt, um ihre günstigen Eigenschaften für die Entwicklung schneller Löser zu nutzen. Die verallgemeinerten 3-D-Integralgleichungen werden modifizierte dyadische Integralkerne verwenden, die nur schwach in Richtung der Breitseite abstrahlen. Dies reduziert die effektive Dimensionalität der Wechselwirkungen zwischen den Problemregionen, erhöht den Rangabfall und ermöglicht eine schnellere Blockkompression. Dazu werden effektive und einfach zu berechnende modifizierte Kerne und schnelle Algorithmen für die effiziente und genaue Kompression der resultierenden Matrixblöcke entwickelt. Ein zweiter Schwerpunkt der Arbeit liegt in der Entwicklung geeigneter Vorkonditionierer. Dazu gehört die analytische und numerische Untersuchung der spektralen Eigenschaften der modifizierten Integraloperatoren, um ihre Anfälligkeit für bekannte und neue Quellen schlechter Konditionierung zu bestimmen. Um eine gute Konditionierung bei hohen Frequenzen und multi-skalen Problemen zu erreichen, werden verfeinerungsfreie Calderon-Vorkonditionierungstechniken entwickelt werden, wozu u.a. freie Parameter sowohl der Vorkonditionierer als auch der modifizierten Kerne ausgenutzt werden. Das Zusammenspiel des schnellen Lösers mit dem Vorkonditionierer soll untersucht und optimiert werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel
• ausländischer Mitantragsteller: Professor Yaniv Brick, Ph.D.