Optimale Approximation der Lösung von stochastischen Evolutionsgleichungen
Final Report Abstract
Thema des Projektes war die optimale Approximation der Lösungspfade von stochastischen Evolutionsgleichungen, wobei als Modellprobleme stochastische Wärmeleitungsgleichungen mit weißem oder in beliebigen Raumdimensionen mit farbigem Rauschen betrachtet wurden. Einerseits konnten asymptotische untere Fehlerschranken bewiesen werden, die für eine große Klasse von Algorithmen gelten und durch die Dimension und die Glattheitseigenschaften der treibenden Brownschen Bewegung bestimmt sind. Untere Fehlerschranken waren bislang in der Literatur nur für eine einzige Modellgleichung bekannt. Zur Konstruktion von Algorithmen, die diese Schranken einhalten, also asymptotisch optimal sind, wurden erstmals nicht-uniforme Zeitdiskretisierungen des Rauschens entwickelt, die anhand der Glattheitseigenschaften des Problems eingestellt werden. Uniforme Zeitdiskretisierung, wie sie bisher ausschließlich in der Literatur betrachtet wurden, führen im allgemeinen zu erheblich schlechteren Konvergenzordnungen. Bei der Raumdiskretisierung kamen erstmals sparse grid Methoden zum Einsatz. Eine praktisch relevante Validierung der asymptotischen Ergebnisse gelang anhand von expliziten nicht-asymptotischen unteren und oberen Fehlerschranken, die für Gleichungen mit additivem Rauschen hergeleitet wurden. Damit konnten aufwendige und mit statistischen Unsicherheiten verbundene Monte-Carlo Experimente vermieden werden.
Publications
- T. Müller-Gronbach, K. Ritter, An implicit Euler scheme with non-uniform time discretization for heat equations with multiplicative noise, BIT 47 (2007), 393-418.
- T. Müller-Gronbach, K. Ritter, Lower bounds and non-uniform time discretization for approximation of stochastic heat equations, Found. Comput. Math. 7 (2008), 135-181.
- T. Müller-Gronbach, K. Ritter, T. Wagner, Optimal pointwise approximation of a linear stochastic heat equation with additive space-time white noise, in: Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2006 (A. Keller, S. Heinrich, H. Niederreiter, eds.), pp. 577-589, Springer-Verlag, Berlin, 2008.
- T. Müller-Gronbach, K. Ritter, T. Wagner, Optimal pointwise approximation of infinite-dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes, Stoch. Dyn. 8 (2008), 519-541.
- T. Wagner, Optimal One-Point Approximation of Stochastic Heat Equations with Additive Noise, Dissertation, Fachbereich Mathematik, TU Darmstadt, 2007.
