Existenz und Asymptotik von Lösungen bei hyperbolischen und hyperbolisch-parabolischen thermoelastischen Systemen

• Applicant: Professor Dr. Reinhard Racke
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2004 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5436624

• Final Report Year: 2011

Final Report Abstract

Zielsetzung des Projektes war zunächst, für thermoelastische Systeme - Systeme partieller Diffrentialgleichungen als Kopplung von Gleichungen aus der Elastizitätstheorie (zweiter oder vierter Ordnung) mit Gleichungen, die den Wärmefluss modellieren, hier also insbesondere mit hyperbolischer Wärmeleitungsmodellierung - • die zeitliche Asymptotik von Lösungen, d.h. die qualitative und quantitative Bestimmung von Abklingraten, sowohl für beschränkte als auch für unbeschränkte Gebiete, insbesondere für Außenraumaufgaben unter verschiedenen Randbedingungen zu analysieren und • den Nachweis der Existenz globaler glatter Lösungen für nichtlineare Systeme für kleine Daten, in einer Raumdimension oder mehreren, für verschiedene Randbedingungen und sowohl in beschränkten als auch in unbeschränkten Gebieten zu führen. Daneben stand • die Untersuchung verschiedener allgemeinerer hyperbolischer Modelle für thermoelastische und andere mit der Wärmeleitung gekoppelter Systeme. Darunter fällt auch auch eine Charakterisierung von Systemen, bei denen das Fouriersche Gesetz und das Cattaneosche Gesetz zu gleichen bzw. verschiedenen Resultaten führen und die Charakterisierung möglicher Instabilitäten. Es wurden die folgenden konkreten Fragestellungen erfolgreich behandelt: • Charakterisierung von Instabilitäten bei delay-Problemen, insbesondere bei thermoelastisch gekoppelten Gleichungen. • Resolventenentwicklung für kleine Frequenzen bei thermoelastischen Außenraumaufgaben. • Globale Existenz kleiner Lösungen zu einer hyperbolischen Version der Naviero Stokes-Gleichungen. • Asymptotik für Resonatoren und klassische thermoelastische Plattengleichunu gen und der Vergleich von Fourier- und Cattaneo-Ansatz. • Existenz und Asymptotik für thermoelastische Kontaktprobleme. • Kopplung mit verallgemeinerten Cattaneo-Modellen höherer (zeitlicher) Ordnung und ihre Auswirkung auf Existenz und Asymptotik.

Publications

• III-posed problems in thermomechanics. Appl. Math. Letters 22 (2009), 1374–1379
  Dreher, M., Quintanilla, R., Racke R.
  
• Thermoelasticity. Handbook of Differential Equations 5, Evolutionary Equations. Chapter 4. Eds.: C.M. Dafermos, M. Pokorný. Elsevier (2009), 315–420
  Racke, R.
  
• Global solutions to hyperbolic Navier-Stokes equations. Konstanzer Schriften Math. 268 (2010), 20 Seiten
  Racke, R., Saal, J.
  
• Low frequency expansion in thermoelasticity with second sound in three dimensions. J. Math. Soc. Japan 62 (2010), 1289–1316
  Naito, Y., Racke, R., Shibata, Y.