Bifuraction theory and attractors in case of localized structures in a concective media with marginally stable essential spectrum
Final Report Abstract
Untersucht wurden Situationen, in denen die Linearisierung um einen Grundzustand gleichzeitig wesentliches Spektrum bis an die imaginäre Achse und diskrete Eigenwerte besitzt. Klassische Sätze zur Stabilität und zur Bifurkationstheorie sind dann nicht mehr anwendbar. Ein klassisches Beispiel von vielen ist die Umströmung eines Hindernisses in einem unendlich ausgedehnten Raum. Das Verhalten eines solchen Systems wird durch ein Wechselspiel diskreter und kontinuierlicher Moden geprägt. Störungen des Hintergrundzustandes, d.h. des Zustandes weit weg vom umströmten Hindernis, verschwinden diffusiv, d.h. zeigen maximal polynomiale Abfallraten in der Zeit. Gleichzeitig wird durch die Reibung am Hindernis eine Menge diskreter Eigenwerte erzeugt. Diese diskreten Eigenwerte sind für die hinter dem Hindernis auftretenden Wirbelstrukturen verantwortlich. Im Rahmen des Projektes sollte geklärt werden, ob die auftretenden Strukturen endlichdimensional determiniert sind, d.h., können sie als endlich-dimensionale Bifurkation aus einem trivialen Zustand konstruiert werden? Vorarbeiten existierten insbesondere zu Hopf-Bifurkationen in Reaktions-Diffusions-Konvektionssystemen und der Umströmung eines Hindernisses. Für Reakt ions-Diffusions-Konvektionssysteme war bekannt, dass der echt zeitperiodische Teil der verzweigenden periodischen Lösung exponentiell im Raum abfällt. Es war daher, insbesondere wegen der Wichtigkeit dieser Tatsache für numerische Berechnungen, ein vorrangiges Ziel, dieses Resultat auf das Umströmen eines Hindernisses zu übertragen. Es stellte sich dabei heraus, dass ein solches Resultat für das Geschwindigkeitsfeld der Strömung wegen der Inkompressibilität nicht richtig sein kann. Deshalb wurde ein Hopf-Bifurkationssatz für die Rotationsformulierung der Navier-Stokes-Gleichungen bewiesen. Allerdings konnte die räumliche Struktur der bifurkierenden Lösungen nicht analysiert werden. Die Vermutung ist, dass auch der echt zeitperiodische Teil der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes nicht exponentiell abfällt. Einen exponentiell abfallenden zeitperiodischen Anteil des Geschwindigkeitsfeldes der bifurkierenden Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen erhält man im Fall periodischer Randbedingungen in die Querrichtung. Der Grund dafür ist die Glattheit des Symbols des inversen Stokes-Operators in R x S1 im Gegensatz zum Rd. Die verzweigenden zeitperiodischen Lösungen sind wieder diffusiv stabil. Weiter findet sich ein Fortsetzungssatz für die triviale Familie der Fixpunkte. Für ein Reakt ions-Diffusionssystem mit essentiellem Spektrum an die imaginäre Achse konnte die Existenz eines verzweigenden invarianten Torus bewiesen werden. Der Beweis beruht auf dem Nash-Moser-Satz und auf Energieabschätzungen. Diese Technik führt dazu, dass das Resultat erst für x ∈ Rd mit d ≧ 7 bewiesen werden kann. Mit einer neuen Idee zum Lösen der verwendeten Invarianzbedingung können die Energieabschätzungen zukünftig vermieden und die Existenz invarianter Tori für d ≧ 3 bewiesen werden.
Publications
- The existence of bifurcating invariant tori in a spatially extended reaction-diffusion-convection system with spatially localized amplification. Technical Report
Andreas Kirchhoff, Guido Schneider
