Hierarchische Netzwerke: Dynamik und Evolution
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Während des dreijährigen Doktorandenstipendiums der DFG entstanden im Rahmen der Dissertation von Filippo Radicchi sieben Publikationen. Zum Thema Hierarchische Netzwerke: Dynamik und Evolution wurden zunächst statische Eigenschaften von natürlichen, u.a. genetischen Netzwerken untersucht, insbesondere die Frage, wann skalenfreie mit selbstähnlichen Strukturen einhergehen. Die Antwort gab Anlass, weiter nach biologischen Mechanismen zu suchen, die letztlich auf diese koexistierenden Strukturen führen. Als dynamische Prozesse auf Netzwerken mit fest vorgegebener Topologie haben wir uns auf zwei Typen konzentriert: Synchronisation von nicht-linearen Oszillatoren und verschiedene Versionen von Spindynamik. Bei der Synchronisation konnten wir u.a. vorhersagen, welche Parameterwahl dazu führt, dass Schrittmacher ein gegebenes Ensemble von Oszillatoren auf eine gemeinsame Frequenz einstimmen können. Hierbei spielte der Aspekt der Netzwerkgröße und -topologie neben der Wechselwirkungsstärke und -reichweite eine entscheidende Rolle. Die Spindynamik ließ unterschiedliche Deutungen und Anwendungen zu: einerseits als Veränderungsmechanismen bei Spannungen in sozialen Systemen, in denen man einen Zustand sozialer Ausgeglichenheit sucht, andererseits als lokale stochastische Suche nach der Lösung eines Optimierungsproblems. Das Optimierungsproblem bestand in der optimalen Zuordnung von Booleschen Variablen zu den Knoten eines Graphen derart, dass alle logischen Zwangsbedingungen zwischen den logischen Variablen gleichzeitig erfüllt werden. In den Computerwissenschaften ist das Problem bekannt unter dem Namen XOR-SAT-Problem. Erstes Ergebnis unserer Arbeit war die Identifizierung der Abbildung der Spindynamik auf ein solches XOR-SAT-Problem. Im Anschluss daran haben wir Phasenübergänge zwischen den stationären Zuständen analysiert. Diese Phasenübergänge gehen einher mit der Lösbarkeit des Optimierungsproblems in endlicher Zeit in der einen Phase und in exponentiell anwachsender Zeit in der anderen Phase. Für eine reguläre Topologie lässt sich der Phasenübergang durch kritische Exponenten charakterisieren, die eine neue Universalitätsklasse kennzeichnen. Die Einbettung in allgemeine stochastische Transportprozesse außerhalb des Gleichgewichts steht noch aus. Unsere Ergebnisse zur Abhängigkeit der Ising-Spindynamik vom Grad des (a)-synchronen Updatens zeigen, wie sensitiv der stationäre Zustand vom Algorithmus selber abhängen kann. Auf natürlich vorkommende biologische Systeme bezogen hängt es vom konkreten System ab, ob dessen zeitliche Evolution eher durch synchrones, d.h. zeitlich wohl geordnetes, oder durch asynchrones Updaten beschrieben werden kann, wie unsere Ergebnisse zur Schwelldynamik auf dem Netzwerk des Hefe-Zellzyklus andeuten. Aus unseren Arbeiten haben sich mehrere Folgeprojekte ergeben, die mittlerweile begonnen wurden bzw. in Planung sind.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Self-similar scale-free networks and disassortativity, Phys.Rev ,E 72, 045105 (2005), Rapid Communications, 4 pages
S. H. Yook, F. Radicchi and H. Meyer-Ortmanns
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Entrapment of coupled oscillators on regular networks by pacemakers, Phys. Rev. E 73, 36218 (2006) 7 pages
F. Radicchi and H. Meyer-Ortmanns
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Reentrant Synchronization and Pattern Formation in Pacemaker-Entrained Kuramoto Oscillators, Phys.Rev. E 74, 026203 (2006) 9 pages
F. Radicchi and H. Meyer-Ortmanns
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Phase transition between synchronous and asynchronous updating algorithms, J.Stat.Phys. 129. 593 (2007) 11 pages
F. Radicchi, D. Vilone and H. Meyer-Ortmanns
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Social Balance as a Satisfiability Problem of Computer Science , Phys.Rev.E 75, 026106 (2007) 17 pages
F. Radicchi, D. Vilone , S. Yoon, and H. Meyer-Ortmanns
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Universality class of triad dynamics on a triangular lattice, Phys.Rev.E 75, 021118 (2007) 9 pages
F. Radicchi, D. Vilone and H. Meyer-Ortmanns
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Impact of the updating scheme on stationary states of networks, J. Phys. A: Math. Theor. 41 224010-1-7(2008), 7 pages
F. Radicchi, Y.Y. Ahn and H. Meyer-Ortmanns
