Algorithmic aspect of abelian varieties

• Applicant: Professorin Dr. Annegret Weng
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2003 to 2005
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5412225

Eine Abelsche Varietät wird durch eine Menge von Gleichungen beschrieben, deren Lösungsmenge eine zusätzliche Struktur, ein Additionsgesetz, besitzt. Über die Theorie der Abelschen Varietäten über arithmetisch interessanten Körpern gibt es bereits zahlreiche Arbeiten, aber auch noch viele offene Fragen. So ist dieses Gebiet bis heute ein Thema aktiver Forschung. Eines der aktuellen Ergebnisse, das auch in der breiten Öffentlichkeit für Aufmerksamkeit sorgte, ist die Verwendung von Galoisdarstellungen zu Abelschen Varietäten für den Beweis des Großen Satzes von Fermat durch Wiles im Jahre 1994. Besonders interessant sind Abelsche Varietäten unter algorithmischen Gesichtspunkten. Eine wichtige Anwendung für Abelsche Varietäten kommt aus der Datensicherheit. Die Punktegruppen von Abelschen Varietäten über endlichen Körpern sind nach heutigem Forschungsstand die optimalen Gruppen für den Einsatz in Kryptosystemen, die auf dem diskreten Logarithmusproblem beruhen. Beispiele für die Aufgaben weiterer Forschung bestehen in der Darstellbarkeit spezieller Abelscher Varietäten auf dem Computer und in der (effizienten) Realisierung ihres Additionsgesetzes. Dabei treten bei der praktischen Umsetzung auch theoretischere Problem auf.

• DFG Programme: Research Fellowships
• International Connection: USA
• Cooperation Partner: Professor Dr. Andreas Stein