Wachspress Koordinaten: eine Brücke zwischen Algebra, Geometrie und Kombinatorik

• Antragsteller: Dr. Martin Winter
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539851419

Dieses Projekt widmet sich einer detaillierten Untersuchung der Wachspress-Koordinaten und verwandter Objekte, insbesondere der Wachspress-Varietät, Wachspress-Abbildung und Izmestiev-Matrix. Baryzentrische Koordinaten sind ein klassisches Werkzeug der geometrischen Modellierung. Sie ermöglichen es Daten an den Vertices eines Simplex zu interpolieren. Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten (kurz VBKs) erweitern diese Idee auf Polytope allgemeinener Kombinatorik, was zu neuartigen Lösungen für Mesh-Parametrisierung/-Deformation, Bild-Verzerrung und Finite-Elemente-Analysis führte. Die Wachspress-Koordinaten wurden ursprünglich als erstes Beispiel rationaler VBKs eingeführt. Es stellte sich heraus, dass sie die eindeutigen rationalen VBKs niedrigst möglichem Grades sind, was bereits auf ihren herausragenden algebraischen Charakter hindeutete. Andere Charakterisierungen, z.B. in Form von Kegelvolumina oder als Taylor-Koeffizienten bestimmter Volumenfunktionale, betonen eine parallele geometrische Natur. In den letzten Jahren sind die Wachspress-Koordinaten immer wieder in Zusammenhängen abseits ihres ursprünglichen Verwendungszwecks aufgetaucht, und fanden überraschende Anwendungen in Mathematik (für die Berechnung von Segre-Klassen), Statistik (bei der Untersuchung von Moment-Varietäten und Bayesscher Statistik) und Physik (in Form von positiven Geometrien und im Zusammenhang mit dem Amplitueder). Neulich zeigte der Antragsteller auf, dass Wachspress-Koordinaten auch aus einem höherrangigen Polytop-Parameter hervorgehen, den wir als Izmestiev-Matrix bezeichnen - eine Matrix mit Lorentzscher Signatur und spektralen Eigenschaften die Geometrie und Kombinatorik des Polytops kodieren. Dies führte zu neuen Verknüpfungen zwischen Starrheits-Theorie, Darstellungs-Theorie und spektraler Graphentheorie. Die vielen nicht-trivial äquivalenten Definitionen der Wachspress-Koordinaten lassen uns diese heute als eine Brücke zwischen algebraischer und konvexer Geometrie sowie spektraler Graphentheorie wahrnehmen. Ziel dieses Projekts ist es, ein vielseitiges Verständnis dieser Konstruktionen zu entwickeln, sowohl als Objekte von intrinsischem Interesse, als auch als Werkzeuge für eine breite Palette an Anwendungen. Das Projekt startet mit einer detaillierten Untersuchung der Wachspress-Varietät und ihrer algebraischen Eigenschaften, gefolgt von einer Untersuchung der Izmestiev-Matrix, ihrer spektralen Kenngrößen, und der Mechanismen durch welche diese die Eigenschaften anderer Wachspress-Objekte bedingen. Aus unseren Erkenntnissen folgern wir Ansätze zu mehreren offenen Problemen in polyedrischer Geometrie, Kombinatorik und Starrheit. Wir beweisen oder widerlegen die vermutete Injektivität der Wachspress-Abbildung und entwickeln einen neuen Algorithmus zur Testung der Polytopalität simplizialer Sphären. Schließlich betrachten wir Verallgemeinerungen der Wachspress-Objekte auf allgemeine Projektionen zwischen Polytopen und auf nicht-geometrische Zusammenhänge.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien