Varietäten mit freier Tangentialgarbe

• Antragsteller: Professor Dr. Stefan Schröer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 536205323

Jedes geometrische Objekt kommt einher mit seinen Tangentialräumen, welche zu den Punkten des Objekts assoziiert sind. Diese kann man sich als bestmögliche lineare Approximation für das geometrische Objekt an einem gegebenen Punkt vorstellen. Die Gesamtheit aller Tangentialräume bildet ein neues geometrischen Objekt, das sogenannte Tangentialbündel. In der Algebraischen Geometrie, wo die Objekte durch polynomiale Gleichungen definiert sind und projektive Schemata genannte werden, ist es natürlich, Singularitäten zu erlauben; man spricht dann von der Tangentialgarbe. Die Eigenschaften der Tangentialgarbe sind von fundamentaler Bedeutung für die gesamte Struktur der projektiven Schemata. In diesem Forschungsvorhabens untersuchen wir die Geometrie und Arithmetik der projektiven Schemata, bei denen die Tangentialgarbe so einfach wie möglich ist, nämlich eine freie Garbe ist, oder verwandten Bedingungen genügt. Dies ist vollkommen verstanden über den komplexen Zahlen, wo die Bedingungen die sogenannten abelschen Varietäten charakterisieren. Im frappierenden Gegensatz dazu ist die Struktur dieser Schemata über Grundkörpern von positiver Charakteristik bis heute ein rätselhaftes Geheimnis. Ziel dieses Projekts ist es, einige dieser Geheimnisse zu lüften.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen