Geometrische Invariantentheorie
Final Report Abstract
Viele Klassifikationsprobleme in der Algebra und algebraischen Geometrie lassen sich mit Hilfe von linearen Wirkungen reduktiver affiner algebraischer Gruppen auf endlich-dimensionalen Vektorräumen beschreiben. Die Klassifikation von (n x n)-Matrizen bis auf Ähnlichkeit läuft z.B. auf die Beschreibung der Bahnen der Wirkung der Gruppe GL(n,K) auf den Vektorraum Mat(n,K) durch Konjugation hinaus, K ein Körper. Im Allgemeinen trägt die Menge der Bahnen keine kanonische Struktur einer algebraischen Varietät. In der geometrischen Invariantentheorie wird die Menge der Bahnen durch die Menge der abgeschlossenen Bahnen ersetzt. Aus Arbeiten von Hilbert und Mumford folgt, dass diese Menge auf kanonische Weise die Struktur einer affinen algebraischen Varietät erhält. Diese affine algebraische Varietät ist der sogenannte "kategorielle Quotient". Die Bahn einer (n x n)-Matrix ist z.B. genau dann abgeschlossen, wenn die Matrix halbeinfach ist. Im Allgemeinen werden die Punkte mit abgeschlossenen Bahnen durch das Hilbert-Mumford-Kriterium charakterisiert. Seien G eine reduktive affine algebraische Gruppe über C, V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum, p:G → GL(V) eine Darstellung und X eine zusammenhängende glatte projektive Kurve über C. Das Hauptergebnis des Projekts ist eine Art geometrische Invariantentheorie für Paare (P, s), die sich aus einem G-Prinzipalbündel P auf X und einem Schnitt s : X → > P(V) in dem zu P vermöge p assoziierten Vektorbündel mit Faser V zusammensetzen. Das bedeutet, dass für solche Paare ein Semistabilitätsbegriff im Stil eines Hilbert-Mumford-Kriteriums formuliert und für die semistabilen Objekte ein Modulraum konstruiert wurde. In einer gemeinsamen Arbeit mit Álvarez-Cónsul und García-Prada wurden Beispiele für solche Modulräume untersucht. Einige Ideen aus dieser Arbeit haben sich bei der Erforschung der Topologie des Modulraums der Higgs-Bündel vom Rang vier und beim Beweis einiger Vermutungen von Hausel zu den Modulräumen von Higgs-Bündeln mit der Strukturgruppe PGL(n,C) durch García-Prada und Heinloth als nützlich erwiesen.
Publications
- Guanajuato 2006: Moduli Spaces for Principal Bundles. Moduli Spaces and Vector Bundles zum 65ten Geburtstag von Peter Newstead
A. Schmitt
- Bad Honnef 2007: Decorated Principal Bundles. Principal Bundles, Gerbes and Stacks
A. Schmitt
- Oxford 2007: The cohomology ring of the moduli stack of principal bundles on a curve. Mathematical Society Invited Lectures 2007 „The Geometric Langlands Correspondence“ von David Ben-Zvi
A. Schmitt
- Geometric Invariant Theory relative to a base curve in Algebraic Cycles, Sheaves, Shtukas, and Moduli, Impanga Lecture Notes, herausgegeben von P. Pragacz, Trends in Mathematics, Birkhäuser, 2008, 131-183
A. Schmitt
