Neue Ergebnisse zur stochastischen Homogenisierung von variationellen Modellen

• Antragsteller: Dr. Matthias Ruf
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 530813503

Ziel des Projekts ist die stochastische Homogenisierung im Sinne von fast sicherer Gamma-Konvergenz von ausgesuchten Funktionalen in der Variationsrechnung. Dabei werden entweder Voraussetzungen in bestehenden Ergebnissen signifikant abgeschwächt oder Modelle untersucht, zu denen es bisher keine Betrachtungen im Sinne der stochastischen Homogenisierung gab. Die Arbeit lässt sich in vier unabhängige Subprojekte unterteilen: 1) Ferromagnetische Ising-Systeme mit degenerierten, stationären Interaktionskoeffizienten, 2) Das ferromagnetische XY-Model auf stochastischen Gittern, 3) Modelle mit stochastischer Homogenität auf Mannigfaltigkeiten, 4) Stochastische Homogenisierung in (statischer) nichtlinearer Elastizitätstheorie. In 1) werden bestehene Resultate dahingehend verbessert, dass die Interaktionsgewichte zwischen zwei magnetischen Teilchen nicht mehr von oben beschränkt sein müssen, sondern nur noch eine minimale stochastiche Integrabilität aufweisen müssen. In Projekt 2) werden wirbelartige, topologische Singularitäten für zufällig angeordnete Spinteilchen untersucht. Für das angebene XY-Model existiert bisher noch kein Resultat zur Gamma-Konvergenz im Rahmen der Homogenisierung (weder periodisch noch stationär, ergodisch). Projekt 3) widmet sich der Definition eines geeigneten Stationaritätsbgefriffs auf Mannigfaltigkeiten, der es erlaubt, relevante Modelle für Polymernetzwerke und deren Homogenisierung auch auf gekrümmten Oberflächen zu betrachten. Im letzten Projekt 4) versuchen wir erste Teilresultate für die stochastische Homogenisierung von Energien in der nichtlinearen Elastizitätstheorie zu beweisen. Insbesondere zeigen wir, dass die Multi-Zell Formel aus der Standardhomogenisierungstheorie eine obere Schranke für den Gamma-Grenzwert liefert. Jedes der Projekte besitzt zahlreiche Möglichkeiten zur Verallgemeinerung bis hin zu sehr abstrakten Betrachtungen von Energiefunktionalen auf Integralströmen oder zur vollständigen Gamma-Konvergenz in nichtlinearer Elastizität.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen