Gruppoidmodelle für Diagramme von Gruppoidkorrespondenzen und ihre C*-Algebren

• Antragsteller: Professor Dr. Ralf Meyer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 529300231

Gruppoide und C*-Algebren sind mathematische Objekte, mit denen verallgemeinerte Räume beschrieben werden. Ein Beispiel hierfür sind Räume von Äquivalenzklassen. Diese Räume haben oft schlechte Eigenschaften. Dann kann man die Äquivalenzrelation durch Pfeile zwischen den zu identifizierenden Elementen und algebraische Operationen mit diesen Pfeilen beschreiben. Dies gibt einen Gruppoid. Gruppoiden liefern wiederum C*-Algebren. Dies sind Algebren von Operatoren auf Hilberträumen. Diese Objekte traten zuerst in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik auf, und sie sind zentral für wichtige Ansätze zur Beschreibung von quantenmechanischen physikalischen Systemen. Neben einer C*-Algebra kann man einem Gruppoid auch ein völlig algebraisches Objekt zuordnen, das sich einfacher studieren lassen, genannt Steinbergalgebra. Diagramme von Gruppoidkorrespondenzen beschreiben eine sehr allgemeine Art von dynamischen Systemen, die unter anderem Selbstähnlichkeiten von Gruppen und topologische Graphen verallgemeinert. Selbstähnliche Gruppen sind wichtige, rein algebraische Invarianten in der Theorie der dynamischen Systeme, weil sie die Dynamik auf einer Juliamenge oft eindeutig festlegen können. Graph-C*-Algebren bilden eine wichtige Klasse von Beispielen, weil sie sich viele Eigenschaften dieser C*-Algebren in kombinatorische Eigenschaften der erzeugenden Graphen übersetzen lassen. Um noch mehr C*-Algebren so zu behandeln, wurden zuletzt mehrere Verallgemeinerungen von Graph-C*-Algebren eingeführt. Diagramme von Gruppoidkorrespondenzen erlauben es, diese Beispielklassen zusammenzufassen und mit einer einzigen Methode zu untersuchen. Daneben liefern sie auch neue Konstruktionen, die dann die wesentlichen Eigenschaften der bisher bekannten Beispiele erben. So wie man eine Gruppenwirkung auf einem Raum in einem Gruppoid kodieren kann, der wiederum eine C*-Algebra besitzt, so liefert auch ein Diagramm von Gruppoidkorrespondenzen einen Gruppoid, der das ganze Diagramm beschreibt, genannt Gruppoidmodell. Allerdings funktioniert die bisher bekannte Konstruktion nur eingeschränkt. Eine geeignete Verallgemeinerung ist ein zentrales Element dieses Antrags. Man kann ein Diagramm von Gruppoidkorrespondenzen auch erst in die Welt der C*-Algebren oder Algebren übersetzen und dann dort durch eine geeignete universelle Eigenschaft eine so genannte Kovarianzalgebra definieren. Welche Beziehung besteht zwischen diesen Kovarianzalgebren und den Steinbergalgebren bzw. Gruppoid-C*-Algebren der Gruppoidmodelle? Dies ist die zweite zentrale Frage dieses Projekts. Es ist bekannt, dass diese Objekte unter bestimmten Bedingungen, aber nicht immer gleich sind. Schließlich sollen einige wichtige Eigenschaften von Gruppoidmodellen untersucht werden, mit denen man z.B. entscheiden kann, ob die Gruppoid-C*-Algebra einfach ist, das heißt, dass sie nur die offensichtlichen Quotienten besitzt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel
• ausländischer Mitantragsteller: Professor Dr. Adam Dor-On