Nijenhuisgeometrie: singuläre Punkte und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Vladimir Matveev
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 529233771

Unser langfristiges Ziel ist die Schaffung eines neuen Zweigs der Mathematik, der Nijenhuis-Geometrie, der viele Anwendungen in der Differentialgeometrie und der mathematischen Physik hat. Die Nijenhuis-Geometrie untersucht Nijenhuisoperatoren, d.h. Endomorphismenfelder (= (1,1)-Tensorfelder) auf einer glatten Mannigfaltigkeit, bei denen die Nijenhuis-Torsion verschwindet. Das Projekt besteht aus zwei Teilen: der allgemeinen Theorie der Nijenhuisoperatoren und ihren Anwendungen. Die Hauptziele des ersten Teils sind: (A) Lokale Beschreibung: In welcher "normalen" Form kann man einen Nijenhuisoperator in der Nähe jedes oder fast jedes Punktes durch eine lokale Koordinatentransformation bringen? (B) Singularitäten: Was bedeutet es, dass ein Punkt im Kontext der Nijenhuis-Geometrie generisch oder singular ist? Welche Singularitäten sind typisch? Nicht-degeneriert? Stabil? Wie verhalten sich Nijenhuisoperatoren in der Nähe nicht-degenerierter und stabiler Singularitäten? (C) Globale Eigenschaften: Welche Einschränkungen werden durch die Kompaktheit der Mannigfaltigkeit für einen Nijenhuisoperator auferlegt? Umgekehrt, welche topologischen Hindernisse gibt es für eine Mannigfaltigkeit, die einen Nijenhuisoperator mit bestimmten Eigenschaften trägt (z.B. ohne Singularitäten oder mit Singularitäten eines vorgeschriebenen Typs)? Für den zweiten "Anwendungs"-Teil haben wir folgende drei Themen ausgewählt, bei denen Nijenhuisoperatoren natürlich auftreten und bei denen unsere bisherigen Ergebnisse und die im Rahmen dieses Projekts erzielten Ergebnisse helfen sollen: a. Geodätisch äquivalente Metriken. b. Unendlich dimensionale integrable Systeme hydrodynamischer Art. c. Kompatible unendlich-dimensionale Poisson-Klammern und verwandte mehrkomponentige integrable Systeme.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen