Adaptive Quarklet Methoden zum numerischen Lösen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen mit exponentieller Konvergenz

• Antragsteller: Dr. Marc Hovemann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 528343051

Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Entwicklung effizienter adaptiver numerischer Methoden der nächsten Generation zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen unter Verwendung neuartiger Quarklets, wobei garantierte exponentielle Konvergenz erzielt werden soll. Dabei arbeiten wir mit biorthogonalen kompakt getragenen Cohen-Daubechies-Feauveau Spline Wavelets, welche mit Polynomen angereichert werden. Diese Funktionen bezeichnen wir als Quarklets. Sie erlauben uns die Entwicklung von Wavelet Versionen von adaptiven hp-Finite Elemente Methoden. Um effektive Quarklet Verfahren mit exponentieller Konvergenz bereitstellen zu können, müssen wir zunächst multivariate Quarklet Systeme mit hoher Glattheit konstruieren, welche sich zur Charakterisierung von Funktionenräumen wie Besov- oder Triebel-Lizorkin Räumen eignen. Diese multivariaten Quarklets können dann verwendet werden, um adaptive beinahe-optimale auf Quarklet Bäumen beruhende Approximationsverfahren für gegebene multivariate Funktionen zu entwickeln. Für diese Verfahren sollen dann möglichst große Funktionenklassen, so genannte zugeordnete Approximationsklassen, gefunden werden, für die exponentielle Konvergenz nachgewiesen werden kann. In einem nächsten Schritt sollen nun effiziente adaptive auf Quarklets basierende Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen der nächsten Generation entwickelt werden, welche mit einer gedämpften Richardson Iteration arbeiten und adaptive beinahe-optimale auf Quarklet Bäumen beruhende Approximationstechniken verwenden. Für diese Lösungsverfahren sollen dann Situationen in Form von konkreten Bedingungen an die partielle Differentialgleichung, dass zu Grunde liegende Gebiet und die rechte Seite identifiziert werden, für die exponentielle Konvergenz nachweisbar ist. Für die Beweise kommen dabei Techniken aus der Regularitätstheorie zum Einsatz. Parallel zur theoretischen Forschung sollen alle im Rahmen des Projektes entwickelten Verfahren auch implementiert und in der Praxis getestet werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen