Costa-ricanisch-deutsche-Forschungskooperation: Fundamentalgruppen, Charaktervarietäten und Higgsbündel

• Antragsteller: Professor Dr. Alexander Schmitt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 524596398

Charaktervarietäten ermöglichen, endlich erzeugte Gruppen mit Methoden der Geometrie zu untersuchen. Die geometrischen Methoden können analytischen oder algebraischen Ursprungs sein. Wenn Verfahren der algebraischen Geometrie zum Einsatz gebracht werden sollen, stellt die Tatsache, dass Charaktervarietäten affin sind, ein Hindernis dar, denn es gibt vergleichsweise wenige Werkzeuge für die Untersuchung affiner Varietäten. Für Fundamentalgruppen projektiv algebraischer Mannigfaltigkeiten stellt die nichtabelsche Hodge-Korrespondenz, die auf grundlegende Arbeiten von Hitchin zurückgeht, einen Homöomorphismus zwischen der Charaktervarietät und einem Modulraum für Higgs-Bündel her. Solch ein Modulraum ist z.B. mit einer C*-Wirkung ausgestattet und verfügt damit über eine reichhaltigere Geometrie. Dies bildet die Grundlage für zahlreiche interessante Entwicklungen in der algebraischen Geometrie. Es sollen Charaktervarietäten, Higgs-Bündel und Fundamentalgruppen unter neuen und aufkommenden Aspekten untersucht werden. Dazu gehören das Studium von Darstellungen von Fundamentalgruppen elliptischer Flächen und der zugehörigen Modulräume von Higgs-Bündeln, die Berechnung von Homotopiegruppen von Modulräumen von Higgs-Bündeln auf Kurven sowie die Beschreibung ihrer Eigenschaften und die Geometrie der Modulräume zirkulärer Higgs-Bündel auf Kurven. In positiver Charakteristik sollen Invarianten des Feldes Frobenius-destabilisierter Bündel und die Kohomologie des Feldes der Vektorbündel mit integrablem Lambda-Zusammenhang auf Kurven beschrieben werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Costa Rica
• Partnerorganisation: Consejo Nacional de Rectores
• Kooperationspartner: Professor Dr. Ronald Alberto Zuniga-Rojas