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Projekt
Zetafunktionen und lokal symmetrische Räume
Antragsteller
Professor Dr. Dieter Mayer
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 1999 bis 2004
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5466130
Neben den klassischen Zetafunktionen der Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie, die eng mit den Namen Riemann, Dirichlet, Dedekind, Artin, Hasse oder Weil verbunden sind, haben in den letzten Jahren die dynamischen Zetafunktionen von Ruelle und Smale auch außerhalb der Mathematik starkes Interesse gefunden, nicht zuletzt wegen ihrer Beziehungen zur Theorie des Quantenchaos. Beispiele solcher Zetafunktionen sind die Selberg-Funktionen geodätischer Flüsse auf Räumen negativer Krümmung, deren Singularitäten u.a. auch spektrale Eigenschaften des entsprechenden Quantensystems beschreiben. Andere Beispiele sind die Artin-Weil-Zetafunktion für algebraische Varietäten über endlichen Körpern und eventuell auch die Riemann'sche Zetafunktion, wofür es zumindest erste Hinweise gibt. Zur Untersuchung der Analytizitätseigenschaften und Funktionalgleichungen dieser dynamischen Zetafunktionen wurden neben Ansätzen der harmonischen Analysis auch neue Methoden aus der Theorie der dynamischen Systeme eingesetzt. In der harmonischen Analysis spielen dabei jüngere Entwicklungen wie der Plancherelsatz für affine symmetrische Räume und geometrische Realisierungen von Zuckerman-Moduln eine wichtige Rolle, weil die dort verwendeten Methoden sich zum Teil auch auf lokal symmetrische Räume übertragen lassen und zu wichtigen neuen Ergebnissen über Plancherel- und Spurformeln sowie die Kohomologie diskreter Gruppen mit Werten in Harish-Chandra Moduln und ihre Globalisierungen geführt haben. Von der Seite der dynamischen Systeme sind vor allem der Thermodynamische Formalismus und die Transfer Operator Methode zu nennen. Im Rahmen dieser Zugänge erhält man zunächst ganz verschiedene Charakterisierungen der Singularitäten der betrachteten Zetafunktionen, aber auch erste Hinweise auf mögliche Zusammenhänge. Neben einer dringend notwendigen Erweiterung der bisher für Spezialfälle erzielten Resultate wird es ein besonderes Anliegen der Forschergruppe sein, die genauen Zusammenhänge der mit den verschiedenen Methoden gewonnenen Charakterisierungen dynamischer Zetafunktionen zu verstehen. Die erfolgreiche Durchführung eines solchen Programms bedarf einer Zusammenführung der in den verschiedenen Arbeitsgruppen bisher verfolgten und auch wichtige Resultate gezeitigten Ansätze. In aufeinander abgestimmten Projekten soll durch gegenseitige Beratung und Unterstützung, insbesondere auch durch ein gemeinsames Gästeprogramm die Theorie der dynamischen Zetafunktionen und deren Zusammenhänge mit den arithmetischen und spektralen Zetafunktionen, methodenübergreifend weiterentwickelt werden, womit sich bisher in Deutschland nur wenige Arbeitsgruppen beschäftigen.
DFG-Verfahren
Forschungsgruppen
Teilprojekt zu
FOR 363:
Zetafunktionen und lokalsymmetrische Räume
Internationaler Bezug
Niederlande, Schweden, USA
