Adaptive Regularisierung und Diskretisierung bei nichtlinearen Variations- und Steuerproblemen

• Applicant: Professor Dr. Christian Großmann (†)
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 1999 to 2007
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5202748

Numerische Verfahren zur Behandlung von nichtlinearen Variations- und Steuerproblemen erfordern einerseits eine endlichdimensionale Approximation der Ausgangsaufgabe und andererseits ein geeignetes Lösungsverfahren für die dabei erzeugten finiten Hilfsaufgaben. Darüber hinaus sind praktisch relevante Probleme, wie z.B. Aufgaben parabolischer Randsteuerung, oft schlecht gestellt. Dies erfordert eine zusätzliche Einbeziehung von Regularisierungstechniken in den Lösungsprozeß. Für jede der genannten Teilprobleme Diskretisierung, Numerik endlichdimensionaler nichtlinearer Optimierungsprobleme und Regularisierungstechniken gibt es umfangreiche Untersuchungen und entsprechende Spezialliteratur. Bei näherer Analyse der Situation zeigt sich jedoch, daß der Gesamtkomplex in einheitlicher Betrachtungsweise nur begrenzt behandelt wird. Eine effiziente Numerik nichtlinearer Variationsprobleme erfordert jedoch wesentlich einen detaillierten Abgleich der einzelnen Verfahrenskomponenten untereinander. Mit dem vorliegenden Forschungsvorhaben wird angestrebt, einen Beitrag zur numerischen Analysis der Gesamtaufgabe zu erbringen. Schwerpunktmäßig stehen im vorliegenden Forschungsprojekt Untersuchungen zur Konvergenz von lokalen, quadratischen Approximationsverfahren (SQP-Methoden) sowie freien Minimierungstechniken angewandt auf durch Straf-Barriere-Methoden erzeugte Hilfsprobleme im Mittelpunkt. Dabei wird angestrebt, speziell das Verhalten dieser Methoden bei simultaner Änderung von Diskretisierungs- und Einbettungs- parametern (Straf-, Barriere- und Regularisierungsparameter) bei einer begrenzten Anzahl von Iterationsschritten in jedem Diskretisierungs- und Einbettungsniveaus zu analysieren. Bei diesen Untersuchungen kann auf Verbindungen zu Gitterunabhängigkeitsprinzipien (mesh independence principles) des Newton-Verfahrens wie auch zu Inneren-Punkt-Methoden der Optimierung aufgebaut werden. Als Ausgangspunkt liegen hierzu bereits Erfahrungen des Antragstellers auf diesen Gebieten vor.

• DFG Programme: Research Grants