Untersuchungen zur Robustheit der spektralen Faktorisierung und deren Einfluss auf Anwendungen in der Mobilkommunikation
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die spektrale Faktorisierung ist eine fundamentale Operation, welche in den unterschiedlichsten Bereichen der Informationstheorie, Kommunikationstechnik sowie der Systemtheorie angewendet wird. Sie ist zumeist mit der notwendigen Kausalitätsforderung an physikalische Systeme verbunden und tritt daher in vielen Signalverarbeitungsalgorithmen auf. In diesem Projekt wurde die Robustheit der spektralen Faktorisierung gegenüber Fehlern in den Daten eingehend untersucht. Die Frage wie stark sich Fehler in den gegebenen Daten auf das Resultat der Faktorisierung auswirken ist von grundlegendem praktischen Interesse. Im Rahmen dieser Arbeit konnte gezeigt werden, dass die Operation der spektralen Faktorisierung in allen Signalräumen, in denen überhaupt eine spektrale Faktorisierung existiert, entweder beschränkt oder stetig ist, aber niemals beides gleichzeitig. Somit kann nur durch eine geeignete Einschränkung der betrachteten Signalklasse eine Robustheit gegenüber Fehlern in den Daten erzielt werden. In einem zweiten Schritt wurden, bezüglich der beiden wichtigsten Normen in der Systemtheorie, Schranken für die Robustheit der spektralen Faktorisierung für Polynome abgeleitet. Dieser Schranken können als Grundlage für einen robusten Filterentwurf verwendet.werden. Die Untersuchung analytischen Eigenschaften der spektralen Faktorisierung für matrixwertige Dichten erwies sich als wesentlich komplizierter als erwartet. Dadurch konnten die Zielsetzungen in diesem Projektpunkt nicht vollständig erreicht werden. Zusätzlich zu denen im Antrag formulierten Fragestellungen und in Zusammenarbeit mit den Kollegen am Technion wurden weitere Themengebiete bearbeitet, welche sich vorrangig mit der Abtastung und Rekonstruktion von Signalen beschäftigten. So wurde zum einen die Möglichkeit der Rekonstruktion von Signalen, basleren auf der alleinigen Kenntnis ihres niederfrequenten Anteils, untersucht. Da Tiefpasssysteme sehr häufig in der physikalischen Welt anzutreffen sind, ist diese Fragestellung von fundamentaler praktischer Relevanz. Im Ergebnis konnten notwendige und hinreichende Bedingungen für Signale in shiftinvarianten Signalräumen angegeben werden, so dass eine Rekonstruktion der Signale aus der Kenntnis des Tiefpassanteils möglich ist. Außerdem wurde gezeigt, dass falls keine solche Signalrekonstruktion möglich ist, eine geeignete Signalvorverarbeitung eine solche Rekonstruktion ermöglichen kann. In einem zweiten Themengebiet wurde die Interpolation und Extrapolation von Abtastwerten deterministischer Signale untersucht. Es konnte gezeigt werden, dass zur Lösung dieser Probleme klassische Resultate aus der Theorie der stochastischen Prozesse erfolgreich angewendet werden können. Insbesondere konnten durch den so gewählten Zugang kausale Filter abgeleitet werden, selbst in solchen Fälle wo die Lösungen, basierend auf der Theorie der Abtastreihen, nur auf nicht-kausale Filter führen. Da zur Bestimmung dieser kausalen Filter wiederum eine spektrale Faktorisierung nötig wird, stehen diese Ergebnisse in engem Zusammenhang mit der eigentlichen Thematik des beantragten Projekts.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Boundedness Behavior for tbe Spectral Factorization for Polynomial Data in the Wiener Algebra. IEEE Trans. Signal Process. 56 (July 2008), no. 7, 3100-3107
H. Boche and V. Pohl
- Continuity versus Boundedness of the Spectral Factorization Mapping, Studia Math. 189 (2008), no. 2, 131-145
H. Boche and V. Pohl
- Advanced Topics in System and Signal Theory: A Mathematical Approach. Foundations in Signal Processing, Communications and Networking. Springer-Verlag, Berlin, 2009
V. Pohl and H. Boche
- Rate of Convergence in Approximating the Spectral Factor of Regular Stochastic Sequences. IEEE Trans, Inf. Theory 55 (Dec. 2009), no. 12. 5674-5681
H. Boche and V. Pohl
- Zero-forcing precoding for frequency selective MIMO channels with H-inf criterion and cauality constraint. Signal Processing 89 (Sep. 2009), no. 9, 1754-1761
S. Wahls, H. Boche, and V. Pohl
