Hysterese-Operatoren in Phasenfeld-Gleichungen

• Applicant: Professor Dr. Jürgen Sprekels
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 1998 to 2004
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5139116

Thema ist die mathematische Untersuchung nicht-isothermer Phasenumwandlungen, bei denen auf der makroskopischen Skala Hysterese-Phänomene auftreten, welche durch thermomechanische Prozesse auf der Mikro- bzw. Meso-Skala induziert werden. Typische Beispiele hierfür sind thermo-elastoplastische Prozesse in metallischen Legierungen oder die Effekte des "Overheating" und "Supercooling" in Schmelz- und Erstarrungsvorgängen. Der Ansatz für die geplanten Untersuchungen ist durch eine Herangehensweise geprägt, in der die auf der räumlichen Makro- oder Meso-Skala auftretenden Hysterese-Effekte nicht mit Hilfe von nichtkonvexen Potentialfunktionen modelliert werden, sondern in der Form von sogenannten "Hysterese-Operatoren". Der Einfluß von auf kleineren Raumskalen relevanten Phänomenen wird in die Modellierung durch Phasenfeld-Variable eingebracht, die sich als Zeitintegrale über die den Phasenübergang steuernden lokalen thermodynamischen Kräfte ergeben (sogenannte verallgemeinerte "freezing indizes"). Aus mathematischer Sicht führen die zu untersuchenden Feldgleichungen auf neuartige Systeme hochgradig nichtlinear gekoppelter partieller Evolutionsgleichungen, welche die thermo-elastoplastischen Effekte, die Evolution innerer Variabler und die Energiebilanz beschreiben. Je nach Modellbildung treten dabei in einigen oder auch in allen Feldgleichungen räumliche und/oder zeitliche Ableitungen hysteretischer Nichtlinearitäten an verschiedenen Stellen auf. Da nicht-triviale Hysterese-Operatoren keine Differenzierbarkeitseigenschaften besitzen, führt dies zu einem Verlust an Kompaktheit und Regularität, der die analytische und numerische Behandlung der Feldgleichungen erheblich erschwert. Hierzu sollen neue mathematische Methoden entwickelt werden. Aus den herzuleitenden Resultaten soll dann zurückgeschlossen werden, welche der zu untersuchenden Modellklassen zur Beschreibung von speziellen Phasenumwandlungen adäquat sind.

• DFG Programme: Research Grants