D-Äquivalenz Vermutung für Hyperkähler Varietäten

• Antragsteller: Dr. Franco Giovenzana
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 509501007

Eine bemerkenswerte Vermutung in algebraischer Geometrie, die nach Bondal und Orlow benannt ist, sagt vorher, dass, falls zwei glatte algebraische Varietäten birational sind, sie dann auch deriviert äquivalent sind, das heißt, es existiert eine Äquivalenz zwischen deren derivierten Kategorien. Das vorliegende Projekt adressiert diese Vermutung für den Fall einer Klasse von Varietäten mit trivialem kanonischen Bündel, die unter dem Namen Hyperkähler (HK) Varietäten bekannt sind. Sie können dank des Zerlegungssatzes von Beauville-Bogomolov als ein fundamentaler Baustein der Varietäten mit trivialem kanonischen Bündel angesehen werden und sie nehmen unter diesen einen besonderen Platz ein, weil sie eine äußerst reizvolle Geometrie besitzen. Verschiedene Teilergebnisse dieser Vermutung sind schon in der Literatur zu finden, darunter etwa der Fall spezifischer elementarer birationaler Abbildungen zwischen HK Varietäten, sogenannte Mukaiflops. Seit kurzem, dank eines Resultats von Halpern-Leistner, ist auch der Fall einer beliebigen birationalen Transformation einer speziellen Klasse von Varietäten, nämlich aller birationalen Modelle von Modulräumen Gieseker stabiler Garben auf einer K3 Fläche, bewiesen worden. Ein grundlegender Satz über derivierte Kategorien besagt, dass jede derivierte Äquivalenz zweier glatter projektiver Varietäten X und Y eine spezielle Beschreibung hat, die Fourier-Mukai Funktor genannt wird und durch ein Objekt in der derivierten Kategorie des Produkts X x Y, dem sogenannten Kern, beschrieben wird. Das erste Ziel des Projektes ist dann, die Kerne der von Halpern-Leistner präsentierten derivierten Äquivalenzen explizit zu berechnen.Obwohl wir über eine umfangreiche Theorie HK Varietäten verfügen, fehlt noch eine vollständige Klassifizierung dieser Varietäten und derzeit gehören alle bekannten Beispiele entweder zu einer von zwei unendlichen Folgen von Familien (Hilbertschemata von Punkten auf K3 Flächen und verallgemeinerte Kummersche Varietäten) oder zu 2 sporadischen anderen, die nach O'Grady benannt wurden. Das zweite Ziel des Projektes ist die Vermutung von Bondal-Orlow in den bekannten Fällen von HK Varietäten zu beweisen, beginnend mit den Hilbertschemata. Ein Zwischenschritt in diese Richtung ist, das Ergebnis Halpern-Leistners mithilfe von Deformationstheorie und kürzlich erzielter Fortschritte von Bakker-Guenancia-Lehn auf dem gesamten Deformationstyp zu erweitern.Aufgrund der Ergebnisse über Standardflops von Bondal-Orlow wird erwartet, dass die sogenannte Flop-Flop Äquivalenz für birationale Transformationen einer HK Varietät X eine nicht-triviale derivierte Auto-Äquivalenz von X definiert.Dieses Phänomen wird für einen Mukai Flop von Addington-Donovan-Meachan analysiert. Wir wollen eine ähnliche Studie im Fall einer allgemeinen birationalen Transformation durchführen, beginnend mit den stratifizierten Mukai Flops, die in der Arbeit von Bayer-Macrì über die birationale Modelle von Modulräumen von Garben erscheinen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeber: Professor Dr. Emanuele Macri