Lokale Fragen in niedrigdimensionaler Topologie aus Sicht von Multikurven

• Antragsteller: Professor Dr. Claudius Zibrowius
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 505125645

Ich arbeite auf dem Gebiet der niedrigdimensionalen Topologie. Dieser Bereich der reinen Mathematik beschäftigt sich mit der Untersuchung geometrischer und topologischer Eigenschaften von 3- und 4-Mannigfaltigkeiten sowie darin eingebetteter Knoten, Links und Flächen. In den letzten Jahrzehnten prägte die Entwicklung moderner homologischer Invarianten die Forschung auf diesem Gebiet und bietet durch Verbindungen zur algebraischen Geometrie, Darstellungstheorie und Physik eine neue Sicht auf alte Probleme. Die wohl einflussreichsten dieser neuen Homologietheorien (und die relevantesten für meine Arbeit) sind Khovanov- und Heegaard-Floer-Homologie.In den letzten Jahren sind gewisse Multikurven-Invarianten erschienen, die lokale Versionen der Khovanov- und Heegaard-Floer-Theorien geometrisch mittels Fukaya-Kategorien einfacher Flächen interpretieren. An der Entwicklung von drei dieser Invarianten sowie ihrer Anwendung in Beweisen von mehreren offenen Vermutungen war ich direkt beteiligt.Ziel meines Forschungsprogramms ist es, unser Verständnis dieser neuen Technologie zu verbessern, um andere offene Fragestellungen in niedrigdimensionaler Topologie zu beantworten. Der Fokus wird dabei auf der Mutationsvermutung für Khovanov-Homologie, der Baker-Moore-Vermutung über L-Space-Knoten und der Vermutung zu kosmetischen Kreuzungen und ihrer Verallgemeinerungen liegen.Dazu werde ich folgenden grundlegenden Fragestellungen nachgehen: Erstens werde ich die Eigenschaften der neuen Invarianten und ihre Beziehung zu klassischen Invarianten wie des Seifertgeschlechts und der Fundamentalgruppe untersuchen. Zweitens werde ich lokale Versionen gewisser Spektralsequenzen entwickeln, die die globalen Invarianten in Beziehung setzen. Drittens möchte ich die sehr allgemeingültigen Methoden, die der Definition der Multikurven-Invarianten zugrunde liegen, auf verwandte Theorien anwenden und meine durch Multikurven gewonnene Intuition nutzen, um höherdimensionale Settings zu studieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen