Niedrigdimensionale Approximationen von Problemen großer Ordnung im Zusammenhang mit hochdimensionalen PDEs und räumlich diskretisierten SPDEs

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Redmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 499366908

Dieses Projekt befasst sich mit niedrigdimensionalen Approximationen hochdimensionaler stochastischer Differentialgleichungen (SDEs). Ziel ist es, diese Approximationsmethoden sowohl zu entwickeln, als auch zu analysieren.Solche SDEs treten beispielsweise bei stochastischen Darstellungen von Lösungen für hochdimensionale partielle Differentialgleichungen (PDEs) oder als räumlich diskretisierte stochastische PDEs (SPDEs) auf. Für räumlich diskretisierte SPDEs ist eine Dimensionsreduktion unerlässlich, um die Komplexität und Kosten von Monte-Carlo (MC) Methoden zu verringern oder um Sparse Grid Repräsentationen oder Quasi-MC zu ermöglichen. Mit der Feynman-Kac-Formel können beispielsweise Lösungen hochdimensionaler lineare PDEs durch Lösungen von SDEs großer Ordnung dargestellt werden. Die Anwendung von Modellordnungsreduktion (MOR) auf diese SDEs führt zu stochastischen Systemen niedriger Ordnung, die wiederum mit niedrigdimensionalen PDEs assoziiert sind, welche dann Approximationen der ursprünglichen PDEs darstellen. Diese Reduzierung der Dimension der räumlichen Variable hat den Vorteil, dass klassische PDE-Diskretisierungsschemata anwendbar sind (im Gegensatz zum ursprünglichen Problem). Folglich ist MOR ein vielversprechender Ansatz zur Berechnung effizienter numerischer Lösungen für sehr komplexe Probleme.Systemtheoretische MOR Techniken sind etablierte Methoden auf dem Gebiet deterministischer Regelungssysteme, bei denen sie vielversprechende Ergebnisse gezeigt haben. Diese Schemata sind beliebt und vorteilhaft, da sie detaillierte theoretische Analysen ermöglichen. Allerdings basieren diese Methoden auf Frequenzbereichs- und Steuerungskonzepten und lassen sich nicht ohne Weiteres auf ungesteuerte SDEs übertragen, welche in diesem Projekt betrachtet werden. Daher ist die Entwicklung alternativer Konzepte zum Verständnis systemtheoretischer MOR im stochastischen Fall unerlässlich. Darüber hinaus wollen wir systemtheoretische MOR Methoden für instabile und hochgradig nichtlineare SDEs großer Ordnung untersuchen, für die es bereits im deterministischen Fall viele offene theoretische Fragen gibt, wie z. B. Fehler- und Stabilitätsanalyse.Das Ziel dieses Projekts ist es, maßgeschneiderte MOR-Methoden (z. B. balancierende und optimierungsbasierte MOR) für mehrere wichtige Anwendungen zu entwickeln, sowie die Implementierung dieser Algorithmen zu realisieren. Ein großer Schwerpunkt wird auf der Erstellung einer Fehler- und Stabilitätsanalyse für solche Schemata liegen, welche auf instabile und nichtlineare Systeme angewendet werden. Dies ist von besonderer Schwierigkeit im Fall stochastischer Systeme. Unsere Arbeiten zu MOR für SDEs und unsere jüngsten Fortschritte bei beispielsweise MOR Fehlerschranken für bestimmte Arten nichtlinearer Gleichungen bilden die Grundlage für dieses Projekt, welches das Potenzial besitzt, analytisch fundierte neue Algorithmen zu entwickeln.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen