Tiefe neuronale Netzwerke überwinden den Fluch der Dimensionalität in der numerischen Approximation von stochastischen Kontrollproblemen und von semilinearen Poisson Gleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Hutzenthaler; Professor Dr. Thomas Kruse
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 464101154

Partielle Differentialgleichungen (PDGen) sind ein Schlüsselinstrument bei der Modellierung vieler naturwissenschaftlicher und ökonomischer Phänomene. Viele der PDGen, die in der Finanztechnik, Wirtschaftstheorie, Quantenmechanik oder statistischen Physik auftreten, sind nichtlinear, hochdimensional und können nicht explizit gelöst werden. Die Entwicklung numerischer Verfahren, welche nachweisbar die Lösungen dieser hochdimensionalen, nichtlinearen PDGen approximieren und nicht unter dem sogenannten Fluch der Dimensionalität leiden, ist eine höchst anspruchsvolle Herausforderung. Neuronale Netzwerke und andere auf tiefem Lernen basierende Methoden wurden in letzter Zeit sehr erfolgreich auf eine Reihe numerischer Probleme angewandt. Insbesondere weisen Simulationen darauf hin, dass Algorithmen, die auf neuronalen Netzwerken basieren, den Fluch der Dimensionalität bei der numerischen Approximation von Lösungen bestimmter nichtlinearer PDGen überwinden. Für bestimmte lineare und nichtlineare PDGen ist dies auch mathematisch nachgewiesen worden. Das Hauptziel dieses Projektes ist es, zum ersten Mal rigoros zu beweisen, dass neuronale Netzwerke den Fluch der Dimensionalität überwinden bei der numerischen Lösung nichtlinearer PDGen, die bei stochastischen Kontrollproblemen entstehen, und bei der numerischen Lösung semilinearer Poisson-Gleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2298: Theoretische Grundlagen von Deep Learning