Vertexalgebren für 2- und 4-dimensionale konforme Feldtheorien

• Antragsteller: Dr. Sven Möller
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 460925688

Quantenfeldtheorien beschreiben die Physik subatomarer Teilchen. Konforme Feldtheorien (CFTs) sind besonders symmetrische Feldtheorien, die in zwei Dimensionen eine mathematisch rigorose Axiomatisierung durch Vertexoperatoralgebren (VOAs) zulassen. VOAs sind auch die algebraischen Strukturen, die im Mittelpunkt bemerkenswerter Verbindungen ("Mondschein" genannt) zwischen Gruppentheorie, der mathematischen Beschreibung von Symmetrien, und Modulformen, gewissen komplexen Funktionen, die in der Zahlentheorie auftreten, liegen. Kürzlich wurde die Entdeckung gemacht, dass auch gewisse vierdimensionale CFTs, die in der Stringtheorie relevant sind, zu VOAs korrespondieren (4d/2d-Korrespondenz).Obwohl es gut verstandene Familien von Beispielen gibt, oft durch Physik motiviert, und einige bekannte Anwendungen in der Mathematik, ist das Verständnis vieler grundlegender Aspekte von VOAs immer noch recht begrenzt. Der Forschungsantrag setzt sich zum Ziel, die Struktur- und Darstellungstheorie von VOAs zu studieren und dadurch die Landschaft der zwei- und vierdimensionalen CFTs zu vermessen.Ein Schwerpunkt sind Orbifoldprobleme. Das Ziel ist es, für eine gegebene VOA die Unterstruktur dieser VOA zu beschreiben, die invariant unter einer Gruppe von Symmetrien dieser VOA ist und die dann zu einer neuen VOA erweitert werden kann. Derartige Konstruktionen sind besonders wichtig, da sie nicht-klassische Beispiele von VOAs liefern (wie den berühmten Mondscheinmodul). Um Orbifoldtheorie zu verstehen ist es notwendig Darstellungen von VOAs zu studieren. Dieses sind Objekte, die VOAs ähnlich sind und auf denen VOAs operieren. Die Darstellungstheorie einer VOA und insbesondere wie deren Darstellungen "fusionieren" um neue Darstellungen zu bilden kann effizient durch (modulare) Tensorkategorien beschrieben werden, welche eine wichtige Rolle in diesem Projekt spielen werden.Der zweite Schwerpunkt des Antrages liegt auf VOAs, die über die 4d/2d-Korrespondenz zu gewissen supersymmetrischen vierdimensionalen CFTs gehören, nämlich solchen mit einer "erweiterten" Supersymmetrie. Das Hauptziel ist es, eine Vermutung der Physiker Bonetti, Meneghelli und Rastelli zu beweisen, dass diese Theorien zu VOAs für gewisse Spiegelungsgruppen korrespondieren. Als erster Schritt müssen diese VOAs rigoros konstruiert werden, was vermutlich durch eine Verallgemeinerung einer Konstruktion nach Adamović erreicht werden kann. Ein Beweis dieser Vermutung ist wichtig, da er zeigt, dass VOAs als Ordnungsprinzip für eine große Klasse von vierdimensionalen Theorien dienen können. Die VOAs, die in diesem Kontext auftreten, sind auch aus einem mathematischen Blickwinkel betrachtenswert und besitzen viele interessante (geometrische) Eigenschaften wie beispielsweise die assoziierten Varietäten nach Arakawa.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen