Ein kombinatorischer Ansatz zur asymptotischen Theorie der pro-p-Gruppen über Operationen auf p-adischen Bäumen

• Antragsteller: Professor Dr. Jan-Christoph Schlage-Puchta
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 447827662

Asymptotische Algebra studiert wie sich die relevanten Parameter algebraischer Strukturen bei zunehmender Komplexität der Struktur verhalten. Dabei kann Komplexität durch die Größe der Struktur oder die Genauigkeit, mit der eine Struktur betrachtet wird, gegeben sein. Eine der grundlegenden algebraischen Strukturen ist der Begriff einer Gruppe. Gruppen treten in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen zur Beschreibung von Symmetrien auf, beispielsweise in der Beschreibung von Lösungsmengen polynomialer Gleichungen oder der Klassifikation möglicher Kristallformen.Ein wesentlicher Ansatz zur Untersuchung von Gruppen ist das Studium ihrer Unterstrukturen. In der Theorie des Untergruppenwachstums werden Gruppen danach klassifiziert, wie die Anzahl der Untergruppen mit ihrem Index zunimmt. Diese Theorie hat sich seit Beginn der 80er Jahre rapide entwickelt, zunächst als interner Zweig der Gruppentheorie, später wurde diese Theorie durch Beziehungen zu sofischer Entropie, arithmetischer Geometrie und Zufallsprozessen auch für andere Bereiche der Mathematik relevant.Eine Methode, das Untergruppenwachstum einer Gruppe zu berechnen, ist, das Problem in einen kombinatorischen Kontext zu übersetzen und das neue Problem mit Methoden der abzählenden Kombinatorik anzugehen. Dieses Verfahren hat sich gerade bei großen Gruppen bewährt. Allerdings ist Kombinatorik von Natur aus diskret, daher ist dieses Verfahren zunächst nicht anwendbar auf topologische Gruppen, das heißt, algebraische Strukturen, in denen Elemente nicht nur verknüpft werden können, sondern auch Konzepte wie Abstand und Konvergenz zulassen. Das Ziel des vorliegenden Projektes ist es, durch die Benutzung von p-adischen Bäumen auf der kombinatorische Seite dieses Argumentes eine topologische Struktur zu definieren, die der Gruppenstruktur angepasst ist, und so die Vielzahl an Ergebnissen, die der kombinatorische Ansatz zum Untergruppenwachstum der diskreten Gruppen in den letzten 30 Jahren hervorgebracht hat, für die Theorie der pro-p Gruppen zugänglich zu machen.Natürlich kann in einem Projekt nicht eine ganze Theorie übersetzt werden, daher betrachten wir zunächst die Fälle, in denen die Baumstruktur durch die algebraische Struktur auf offensichtliche Weise nahegelegt wird. Dies sind zum einen Verzweigungsgruppen, also Gruppen, die auf stark transitive Weise auf einem p-adischen Baum operieren. Zum anderen betrachten wir die Operation einer Gruppe auf dem Verband ihrer Untergruppen. Dieser Verband ist zwar kein Baum, aber für große Gruppen so ähnlich zu einem Baum, dass sich das Verhalten der Gruppenaktion asymptotisch durch eine Operation auf einem Baum approximieren lässt.Obwohl das Projekt zur Gruppentheorie gehört, erwarten wir Beziehungen in anderen Bereichen der Mathematik, und zwar einerseits über Nottinghamgruppen und Demushkingruppen zur Galoistheorie, andererseits über dessins d'enfants und einfach verzweigte Überlagerungen elliptischer Kurve.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen