Entwurf nichtlinearer Regelungen mit Hilfe mehrdimensionaler Legendre-Polynome
Final Report Abstract
Ein Schwerpunkt im Rahmen des Forschungsprojekts war die Verwendung einer Polynomapproximation zum Entwurf nichtlinearer Regler mit Hilfe der SOS-Programmierung. Dabei wurde eine Taylorreihenentwicklung verwendet, die den Vorteil aufweist, dass die Jacobi-Linearisierung des nichtlinearen Systems im Approximationsmodell erhalten bleibt und somit das Approximationsmodell zur Stabilisierung einer Ruhelage geeignet ist. Für dieses polynomiale Modell konnten im Anschluss die bekannten Konzepte von Jarvis-Wloszek im Rahmen der SOS-Programm iemng eingesetzt werden, die nur für polynomiale Systeme geeignet sind. Zielsetzung bei diesem Ansatz ist die Maximierung der Abschätzung des Einzugsbereichs der Ruhelage des geregelten Systems, wozu die vorhandenen Freiheitsgrade im nichtlinearen Regler genutzt werden. Problematisch gestaltete sich allerdings immer noch die Bestimmung einer Abschätzung des Einzugsbereichs des geregelten nicht-polynomialen Systems, allerdings gelang es, den Ansatz zum Reglerentwurf mittels SOS-Programmierung auf nicht-polynomiale Systeme mit glatten Nichtlinearitäten zu erweitern. Zusätzlich hat sich herausgestellt, dass sowohl Stell- als auch Zustandsbegrenzungen systematisch im Entwurf oder bei der Analyse berücksichtigt werden können. Des weiteren zeigte sich, dass eine Erhöhung der Freiheitsgrade im Reglerentwurf meist zu einem größeren Einzugsbereich führte. Daher wurden die zulässigen Stellgesetze auf rationale Funktionen erweitert, die zusätzliche Freiheitsgrade mit sich brachten und somit zu einer weiteren Vergrößerung der Abschätzung des Einzugsbereichs beitragen konnten. Den zweiien Schwerpunkt stellten die Entwurfsverfahren für nichtlineare Beobachter und Zustandsregler mit dem Ziel der exakten Linearisierung dar. Dabei sind gerade beim Beobachterentwurf mit einer exakt linearen Fehlerdynamik die Lösbarkeitsbedingungen äußerst restriktiv, so dass dieser Beobachter meist nicht existiert. Auch für die exakte Zustandslinearisierung ergeben sich Lösbarkeitsbedingungen, die häufig nicht erfüllt sind. Somit liegt ein Ansatz zur näherungsweisen Linearisierung für Systeme auf der Hand, welche die Lösbarkeitsbedingungen nicht erfüllen, Dazu wurden in diesem Projekt die Verfahren von Kazantzis und -Krener weiterentwickelt. Für den Beobachterentwurf nach Kazantzis ohne Eingang wurde bereits am Lehrstuhl der Galerkin-Ansatz zur Lösung des beim Entwurf auftretenden Anfangswertproblems erfolgreich 4 Entwurf nichtlinearer Regelungen mit Hilfe mehrdimensionaler Legendre-Polynome eingesetzt. In diesem Projekt wurde diese Herangehensweise auf Systeme mit mehreren Eingängen erweitert und dem Taylorreihenansatz gegenübergestellt, wobei sich für das Anfangswertproblem eine zusätzliche Bedingung pro Eingang ergab. Die Existenz und Eindeutigkeit einer analytischen Lösung des Anfangswertproblems konnte durch den Hilfssatz von Lyapunov gesichert werden. Die zusätzlichen Freiheitsgrade im Entwurf, bedingt durch nichtlineare Messgrößenaufschaltungen, konnten genutzt werden, um die zusätzlichen Bedingungen zu erfüllen. Durch Anwendung des Galerkin-Verfahrens auf Basis der mehrdimensionalen Legendre-Polynome und der Operationsmatrizen für die Multiplikation und Differentiation von mehrdimensionalen Legendre-Polynomen konnte eine lineare Matrixgleichung hergeleitet werden, die sich effizient numerisch lösen lässt. Beim Galerkin-Ansatz würde eine näherungsweise Linearisierung der Fehlerdynamik in einem vorgebbaren Intervall im Zustandsraum im Gegensatz zur lokalen Lösung beim-Taylorreihenänsatz erreicht. Bei der näherungsweisen Zustandslinearisierung wurden die Verfahren von Kazantzis und Krener weiterentwickelt. Bisher wurde in der Literatur eine Taylorreihenentwicklung zur näherungsweisen Lösung der jeweiligen Problemstellung vorgeschlagen, was in der Regel zu lokalen Lösungen führt, d.h. für große Anfangsauslenkungen ist keine Linearisierung mehr feststellbar oder der Einzugsbereich ist so klein, dass eine Stabilisierung der Ruhelage nicht mehr möglich ist. Zur Umgehung dieser Problematik wurde im Rahmen dieses Forschungsprojekts das Galerkin-Verfahren zur Lösung der jeweiligen Problemstellung herangezogen. Als Funktionen-Basis für dieses Verfahren wurden jeweils die mehrdimensionalen orthonormalen Legendre-Polynome gewählt. Durch dieses Vorgehen und den Einsatz der Operationsmatrizen für die Multiplikation und Differentiation von mehrdimensionalen Legendre-Polynomen war es möglich, eine nichtlineare bzw. lineare Matrixgleichung zur Bestimmung der Koordinatentransformation und Zustandsrückführung nach Kazantzis bzw. Krener herzuleiten, die effizient numerisch gelöst werden können. Mit beiden Verfahren wurde eine Vergrößerung des Einzugsbereichs der Ruhelage des geregelten Systems erreicht, wenn man dieses Ergebnis mit einem linearen Regler basierend auf der Jacobi-Linearisierung des nichtlinearen Systems und dem Taylorreihenansatz vergleicht. Zudem konnten die Methoden zum Beobachterentwurf und zur näherungsweisen Zustandslinearisierung erfolgreich in Laborexperimenten implementiert und die Ergebnisse der Simulationen bestätigt werden. Die Verwendung der L2-Approximation eines nicht-polynomialen Systems für den Reglerentwurf mittels SOS-Programmierung ist ein offener Punkt des Projekts. Eine mögliche Erweiterung der Ergebnisse des Forschungsprojekts im Bereich der SOS-Programmiemng wäre eine weitere Betrachtung von dynamischen Ausgangsrückfühmngen, was für eine Umsetzung in praktischen Anwendungen von grundlegender Bedeutung ist. Zudem wäre es interessant zu untersuchen, ob sich durch die Einführung zusätzlicher Dynamik im Regler und damit von zusätzlichen Freiheitsgraden im Entwurf eine Verbesserung für die Abschätzung des Einzugsbereichs ergibt. Auch die Einfiussnahme auf die resultierende Regelungsdynamik im Rahmen der SOS-Programmierung; stellt einen interessanten Ansatzpunkt dar, um somit ein unerwünscht langsames Regelkreisverhalten zu vermeiden. Bei der näherungsweisen Zustandslinearisierung nach Krener war es bisher nötig, mögliche Singularitäten im Stellgesetz in Simulationen zu identifizieren. Allerdings sollte es möglich sein, auch in diesem Zusammenhang die Vorteile der SOS-Programmierung zu nutzen. Damit könnte man einen berechneten Regler auch ohne aufwändige Simulationen auf seine Tauglichkeit hin überprüfen.
Publications
- Approximate feedback linearization using multivariable Legendre polynomials. Proceedings of the 17th IFAC World Congress 2008, Seoul, Korea
Deutscher, J. und Bäuml, M.
- Approximate observer error linearization for nonlinear systems with input. Proceedings of the 17th IFAC World Congress 2008, Seoul, Korea
Bäuml, M. und Deutscher, J.
- Stabilisierung nichtlinearer Systeme mit Zustandsbeschränkungen mittels SOS-Programmierung. "Methoden und Anwendungen der Regelungstechnik", Erlangen-Münchener Workshops 2007 und 2008, Shaker Verlag 2009, S. 47-60
Bäuml, M. und Deutscher, J.
- Stabilization of Nonlinear Systems with Input Saturation using SOS-Programming. Proceedings of the 6th MATHMOD 2009, Vienna, Austria
Bäuml, M. und Deutscher, J.
- Stabilization of nonlinear systems with non-polynomial nonlinearities using SOS-programming. Proceedings of the 11th lASTED Conference on Control and Application 2009, Cambridge, United Kingdom
Bäuml, M. und Deutscher, J.
