Heterogene Diffusion

• Antragsteller: Professor Dr. Ilya Pavlyukevich
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 445937481

Dieses Vorhaben beschäftigt sich mit dem paradigmatischen Modell der Bewegung eines schweren zufälligen Teilchens mit irregulärer raumabhängiger Diffusivität. Dieses Modell ist im Kern durch eine stochastische Differentialgleichung bestimmt; in der physikalischen Literatur spricht man von einer heterogenen Diffusion. Wir werden hauptsächlich Hölder-stetige Diffusivitäten untersuchen mit Hölderkoeffizient, so dass der Nullpunkt der eindeutige irreguläre Punkt der Diffusion ist.Hier werden zwei physikalisch motivierte Fragen behandelt. Zum einen ist es bekannt, dass das physikalische Modell wesentlich davon abhängt, mit welchem stochastischen Integrationsbegriff die obige Differentialgleichung aufgefasst wird. Wir werden sie also mit der sogenannten $\lambda$-Interpretation untersuchen, was Itô, Stratonovich und, wohl am wichtigsten, Hänggi-Klimontovich Integration einschließt. Die stochastische Differentialgleichung in der Stratonovich-Interpretation wurde von den Antragstellern vor kurzem umfassend untersucht. In diesem Projekt sollen jedoch für allgemeine Interpretationen starke und schwache Markov'sche Lösungen bestimmt werden, die keine Zeit in der Null verbringen. Diese Lösungen gehören zur physikalisch bedeutungsvollen Klasse der perpetuellen Diffusionen in einem heterogenen Medium mit einem eindeutigen absorbierenden Zustand.Zum anderen soll die heterogene Diffusion unter zusätzlichem unabhängigen kleinen additiven Rauschen untersucht werden. Mit dieser verrauschten Diffusion kann dann ein schweres Teilchen modelliert werden, welches sich in einem Medium bewegt, dessen Molekularstruktur Ursache für kleines Rauschen ist. Wir erwarten, dass dieses externe Rauschen die ursprüngliche Gleichung regularisiert und dass wir die eindeutige natürliche physikalische Lösung erhalten, wenn dieses Rauschen gegen Null konvergiert. Diesen Effekt werden wir zunächst in der Stratonovich-Interpretation untersuchen.Zur Lösung dieser Fragestellungen werden wir Konzepte der irregulären bzw. singulären stochastischen Differentialgleichungen, der stochastische Differentialgleichungen mit Lokalzeiten, von schiefen Besselprozessen sowie von Zeitumkehrungen nutzen. Wir streben dabei nach expliziten Formeln für Markov'sche heterogene Diffusionen in der Form von bestimmten nichtlinearen Transformationen von schiefen Besselprozessen. Die Ergebnisse dieser Arbeit tragen wesentlich zur allgemeinen Theorie von irregulären bzw. singulären stochastischen Differentialgleichungen bei und erweitern unser Verständnis von nichtlinearen Effekten in realistischen stochastischen Modellen der Physik, Biologie und anderen angewandten Wissenschaften.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Ukraine
• Kooperationspartner: Professor Dr. Georgiy Shevchenko