Wirbeldynamik und Blow-up-Phänomene in zwei Dimensionen

• Antragsteller: Professor Dr. Mohameden Ahmedou; Professor Dr. Thomas Bartsch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 444615381

Die Dynamik von N Punktwirbeln in einem Gebiet oder auf einer Riemannschen Fläche wird durch ein Hamiltonsches System erster Ordnung mit N Freiheitsgraden beschrieben, das auf Kirchhoff and Routh (1880er) zurückgeht. Es gibt viele faszinierende Beziehungen zwischen diesem Hamiltonschen System und partiellen Differentialgleichungen. Man erhält es als singulären Grenzwert der 2D Eulergleichungen eines idealen Fluids, bei dem die Wirbelstärke in N verschiedenen Punkten konzentriert ist, analog zu Punktmassen in der Himmelsmechanik. Die Hamiltonfunktion, die Kirchhoff-Routh-Funktion, hängt von der Greenschen Funktion des Dirichlet Laplace-Operators ab und ist singulär, wenn Wirbel sich nahekommen oder sich dem Gebietsrand nähern. Hamiltonfunktionen dieser Art kommen auch bei anderen Problemen der mathematischen Physik vor, zum Beispiel als renormierte Energie bei der Beschreibung von Wirbeln in der Ginzburg-Landau-Theorie.Statistische Mechanik für eine große Zahl an Wirbeln führt zu partiellen Differentialgleichungen, den Mean-Field-Gleichungen, die auf Arbeiten von Onsager über zweidimensionale Turbulenz zurückgehen. Überraschenderweise kommen Gleichungen dieser Art auch in der Differentialgeometrie vor. Lösungen kann man mit Variationsmethoden erhalten, das zugehörige Euler-Lagrange-Funktional ist aber für kritische Parameterwerte nicht kompakt: es kann Orbits des Gradientenflusses geben, die im maßtheoretischen Sinn gegen Summen von Dirac-Deltas konvergieren. Diese Dirac-Deltas befinden sich gerade an kritischen Punkten von Funktionen, die ähnlich zu, aber komplizierter als die Kirchhoff-Routh-Funktion sind. Deshalb sind Informationen über kritische Punkte solcher verallgemeinerter "Wirbel-Hamilton-Funktionen” entscheidend für die Untersuchung der fehlenden Kompaktheit der Funktionale, die zu Mean-Field-Gleichungen gehören. Diese Informationen sind ebenfalls wichtig für die Konstruktion von Blow-Up-Lösungen; das sind Familien von Lösungen, die im maßtheoretischen Sinn gegen eine Summe von Dirac-Deltas konvergieren, wenn sich ein Parameter einem kritischen Wert nähert. Als letztes Beispiel für das Auftreten von Wirbel-Hamilton-Funktionen seien noch Toda-Systeme erwähnt.Hauptziele des Projekts sind:1. Punktwirbeldynamik in Gebieten und auf Riemannschen Flächen zu untersuchen, insbesondere stationäre Lösungen als kritische Punkte der Kirchhoff-Routh-Funktion sowie periodische Lösungen zu finden.2. Morsetheorie für Euler-Lagrange-Funktionale von Mean-Field-Gleichungen zu entwickeln, insbesondere kritische Punkte der Wirbel-Hamilton-Funktionen zu finden, und darauf aufbauend Existenz und Vielfachheit von Lösungen von Mean-Field-Gleichungen zu untersuchen sowie Blow-Up-Lösungen zu konstruieren.3. Morsetheorie für das SU(3)-Toda-System mit Neumannschen Randbedingungen und auf Flächen zu entwickeln, um Existenz und Vielfachheit von Lösungen zu zeigen und Blow-Up-Lösungen zu konstruieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Italien, Tunesien
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professor Dr. Mohamed Ben Ayed; Professorin Dr. Angela Pistoia