Geometrische Chern-Charaktäre für p-adische äquivariante K-Theorie und K-Homologie

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Schick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441787895

Beim Studium lokalkompakter Gruppen und deren Darstellungen und Wirkungen bilden die die p-adischen Gruppen oder allgemeiner total unzusammenhängende Gruppen eine wichtige Spezialklasse, komplementär zu den vielstudierten Liegruppen. Wichtige Aspekte der Darstellungstheorie einer solchen total unzusammenhängenden Gruppe werden in der K-Theorie ihrer reduzierten Gruppen-C*-Algebra kodiert. Die Baum-Connes Vermutung (die in vielen relevanten Fällen bewiesen ist) identifiziert diese K-Theorie mit der äquivarianten K-Homologie des universellen eigentlichen G-Raums.Ein Ziel des Projekts ist nun eine geometrische Beschreibung der äquivarianten K-Homologie eines eigentlichen G-Raums X, wenn G eine total unzusammenhängende lokalkompakte Gruppe ist. Dieses Zyklenmodell soll insbesondere Räume benutzen, welche das Bruhat-Tits Gebäude einer p-adischen Gruppe verallgemeinern, wobei die Zyklen zusätzliche indextheoretische Information enthalten werden. Das nächste Hauptziel ist dann die Konstruktion eines gemetrischen Chern-Charakter-Isomorphismus unter Nutzung dieser Zyklen, mit Werten in einer berechenbaren äquivarianten Homologie.Desweiteren und als Baustein für diesen Chern-Charakter planen wir die Entwicklung eines neues und besonders nutzbares Modell des klassifizierenden Raums für G-äquivariante K-Theorie for eine solche total unzusammenhängende Gruppe G. Dies soll insbesondere genutzt werden, um direkt und auf gemetrische Weise einen Chern-Charakter-Isomororphismus für die entsprechende äquivariante K-Theorie zu entwickeln und, als ultimatives Ziel in dieser Richtung, auch eine bivariante Version. Danach werden wir unsere neue Konstruktion mit früheren, ungeometrischen Konstruktionen und mit Konstruktionen für die Spezialfälle kompakter und diskreter Gruppen vergleichen.Dies eröffnet die Möglichkeit für Anwendungen auf die Darstellungstheorie p-adischer Gruppen und ein tieferes K-theoretisches Verständnis (diskreter) arithmetischer Gruppen und ihrer Wirkung durch die Nutzung ihrer nicht-archimedischen Vervollständigungen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen
• Internationaler Bezug: USA
• Kooperationspartner: Professor Paul Baum, Ph.D.