Normaliz: Entwicklung und langfristige Perspektive

• Antragsteller: Professor Dr. Winfried Bruns
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 440345850

Normaliz ist ein Werkzeug für die mathematische Forschung, das seit 1997 in Osnabrück entwickelt wird. Es ist spezialisiert auf Berechnungen in der diskreten Konvexgeometrie. Es löst lineare diophantische Systeme aus Gleichungen, Ungleichungen und Kongruenzen. Darüber hinaus kann es Lösungen gradweise zählen, also ihre Hilbert- oder Ehrhartreihe berechnen. Spezielle Aufgaben sind die Berechnung der Facetten konvexer Polytope und die Bestimmung der Gitterpunkte. In letzter Zeit ist das Anwendungsspektrum um algebraische Polytope erweitert worden.Normaliz hat Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik gefunden. Dazu gehören Polytoptheorie, kombinatorische Algebra und Geometrie, algebraische Statistik, ganzzahlige Optimierung, kombinatorische Topologie und Gruppentheorie. Es ist aber auch in der theoretischen Physik und sogar in der mathematischen Musiktheorie zum Einsatz gekommen.Normaliz ist in C++ programmiert. Es ist für Linux, Mac OS und MS Windows verfügbar. Für Polynomarithmetik nutzt es CoCoALib und greift für spezielle Zwecke auf weitere optionale Pakete wie Flint zurück. Neben der Eingabe von Daten in Files bietet es den Zugang über eine Template-gesteuerte, daher sehr flexible und reichhaltige C++-Klassenbibliothek an. Die Algorithmen von Normaliz sind für Shared-Memory-Systeme parallelisiert und auch deshalb sehr leistungsfähig. Zur Verbreitung von Normaliz hat insbesondere der Zugang aus Computeralgebra-Systemen wie CoCoA, GAP, Macaulay2, SageMath und Singular beigetragen. Erstes Ziel dieses Projektes ist die Erweiterung von Normaliz um mathematisch wichtige und attraktive Funktionen. Dazu gehört die Berechnung von Gröbner-, Markov- und Graverbasen, die in der algebraischen Statistik viele Anwendungen haben. Eine zweite Ergänzung ist die Nutzung der Automorphismengruppe für die Berechnung anderer Invarianten, was zum Teil ein schwieriges Problem ist. Die Berechnung von Hilbert-Reihen wird von einfach graduierte auf multigraduierte Reihen erweitert, die insbesondere bei parametrischen Problemen vorkommen. Eine weitere Ergänzung ist eine C++-Klassenbibliothek für torische algebraische Geometrie, deren kombinatorische Grundlage rationale polyedrische Fächer bilden. Für die Erhöhung der Rechenleistung ist die rechnerübergreifende Parallelisierung auf heterogenen Systemen notwendig, die dann auch Cloud Computing möglich macht. Die Algorithmen von Normaliz sollen um Methoden der linearen Optimierung erweitert werden, die dann auch für algebraische Polytope zur Verfügung stehen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen