Geometrische Modelltheorie, pseudo-endliche Kombinatorik und komprimierbare Typen

• Antragsteller: Dr. Martin Bays
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 440345213

Dieses Projekt setzt das vorgänger Projekt fort. Das Ziel dieses Projekts ist die Vertiefung des modelltheoretischen Verständnis pseudo-endlicher Mengen in Körpern. Ausgedrückt in der Sprache der klassischen Kombinatorik heißt dies, asymptotische Kardinalitäten endlicher Konfigurationen, die bestimmte polynomielle Bedingungen erfüllen, zu verstehen. Dieser Rahmen umfasst berühmte offene Fragen und bedeutende Sätze, wie das unterschiedliche Distanzen Problem von Erdős, das Obstgardenproblem, das Summe-Produkt Phänomen und die Breuillard-Green-Tao Charakterisierung von approximativen Untergruppen algebraischer Gruppen. Hrushovski hat tiefe Analogien zwischen diesen kombinatorischen Phänomenen und bereits vorhandenen Resultaten in reiner Modelltheorie aufgezeigt, welche kombinatorische Bedingungen an asymptotische Kardinalitäten in Strukturen überführen, die wiederum mit modelltheoretischen Werkzeugen untersucht werden können. In diesem Projekt werden wir diese Analogien vertiefen und neue Aspekte dieser Strukturen erforschen.Genauer betrachten wir die geometrischen Implikationen für bestimmte polynomielle Bedingungen, so dass es endliche Konfigurationen gibt, die diese Bedingungen erfüllen und die eine Kardinalitätsschranke erreichen, welche die algebraische Dimension bestimmt. Bereits vorhandene Resultate, insbesondere von Elekes-Szabó und Bays-Breuillard, zeigen, unter Annahme der weiteren Voraussetzung (nämlich, dass die "interne Struktur" der Koordinaten nicht mit den Lösungen interagiert), dass jede solche Konfiguration schon von einer kommutativen algebraischen Gruppe stammt. Die Analogie mit geometrischer Stabilitätstheorie macht es möglich auch interne Struktur zuzulassen. Damit wären weitere interessante Strukturen, wie iterative nilpotente Gruppeschemata, mit diesen Methoden untersuchbar. In diesem Projekt werden wir die neuen Möglichkeiten klassifieren, angefangen mit der Untersuchung des konkreten Falls des Obstgartenproblems auf einer kubischen Oberfläche.Ein weiteres Ziel des Projekts ist es, die Modelltheorie von NIP Strukturen zu nutzen, um Inzidenzgrenzen und somit Elekes-Szabo Resultate in positiver Charakteristik zu finden. In Bays-Martin wurde der Fall von Funktionenkörpern über endlichen Körpern behandelt. Hierbei wurde die Distalität gewisser bewerteter Körper ausgenutzt. Distalität kann im NIP Kontext mittels komprimierbarer Typen betrachtet werden und Bays-Kaplan-Simon zeigt, dass es reichlich solcher Typen gibt. Wir beabsichtigen, die abstrakte Theorie komprimierbarer Typen weiterzuentwickeln und diese anzuwenden um neue Inzidenzgrenzen zu erhalten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen