Numerische Methoden höherer Ordnung für akustische Streuungsprobleme mit lokal gestörten periodischen Strukturen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Ruming Zhang
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 433126998

Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Untersuchung zeitharmonischer akustischer Streuprobleme an durchlässigen lokal gestörten inhomogenen periodischen Schichten über einer undurchlässigen Platte im dreidimensionalen Raum. Modelliert werden die Streuprobleme durch die Helmholtzgleichung in unbeschränkten Gebieten, deren theoretische Analyse und numerische Lösung sehr herausfordernd sind. Da sich die Floquet-Bloch Transformation als sehr nützlich zur Behandlung von Streuproblemen an unbeschränkten Strukturen im Zweidimensionalen erwiesen hat, soll sie in diesem Projekt als Hauptinstrument eingesetzt werden. Zuerst sollen dazu Stetigkeits- und Regularitätsresultate des Bloch transformierten Feldes bezüglich quasi-periodischer Parameter erarbeitet werden, wobei die Dirichlet-zu-Neumann-Abbildung eine wichtige Rolle spielt. Ein weiteres Ziel ist, mit Hilfe dieser Regularitätsresultate eine effiziente numerische Methode für die quasi-periodischen Bloch transfomierten Probleme zu entwickeln. Im Gegensatz zum 2D-Fall sind die Singularitäten der Bloch transformierten Felder nicht mehr in endlich vielen Punkten lokalisiert, sondern formen eine Vereinigung von „singulären Kreisen“. Daher ist eine einfach Erweiterung des numerischen Verfahrens höherer Ordnung aus dem 2D-Fall auf den 3D-Fall nicht möglich, und neue Ideen sind notwendig. Schließlich soll auch noch eine effiziente numerische Method für lokal gestörten periodischen Schichten entwickelt werden. Dafür wird entweder eine gekoppelte Finite-Elemente-Methode oder eine Diskretisierung der Lippmann-Schwinger-Gleichung verwendet werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen