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Projekt
Simulation und Optimierung ratenunabhängiger Systeme mit nichtkonvexen Energien
Antragstellerinnen / Antragsteller
Professorin Dr. Dorothee Knees; Professor Dr. Christian Meyer
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2019 bis 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 423630709
Das Projekt hat die Analysis, Simulation und Optimierung ratenunabhängiger Systeme mit nichtkonvexer Energie zum Ziel. Viele Systeme der Kontinuumsmechanik verhalten sich näherungsweise ratenunabhängig. Ein Beispiel hierfür sind Schädigungsprozesse in spröden Materialien. Die zugehörigen Modelle liegen in Form von Evolutionsvariationsungleichungen vor und basieren auf einem positiv homogenen, konvexen Dissipationsfunktional und einem Energiefunktional. Ist das Energiefunktional ebenfalls konvex, so sind die Lösungen typischerweise eindeutig und zeitstetig. Ratenunabhängige Systeme mit nichtkonvexen Energien, wie beispielsweise Schädigungsmodelle, führen im Gegensatz dazu auf zahlreiche mathematische Herausforderungen: Lösungen sind in der Regel unstetig in der Zeit und es gibt mehrere verschiedene Lösungsbegriffe mit jeweils anderen Sprungbedingungen. Oft sind Lösungen auch innerhalb eines Lösungsbegriffs nicht eindeutig. Sowohl die numerische Simulation als auch die Optimierung ratenunabhängiger Modelle mit nicht-konvexer Energie stellen daher eine große Herausforderung dar.Das Projekt widmet sich diesen Fragestellungen auf Basis des in den letzten Jahren entwickelten Konzepts der Balanced-Viscosity-(BV)-Lösungen, welches eine detaillierte Charakterisierung der Zeit-Unstetigkeiten ermöglicht. Die Existenz solcher Lösungen lässt sich über eine viskose Regularisierung des Systems und einen anschließenden Viskositätslimes nachweisen, wobei bisher meist angenommen wird, dass die Daten zeitlich glatt sind.Im Projekt sollen drei Linien verfolgt werden: Wir beabsichtigen, die Existenztheorie auf unstetige Daten auszuweiten und verfeinerte analytische Eigenschaften (z.B. Kompaktheitseigenschaften) der Lösungsmengen herzuleiten. Ferner sollen robuste numerische Verfahren für diesen Lösungstyp entwickelt und deren Konvergenz und Praktikabilität nachgewiesen werden. Schließlich sollen geeignte Optimierungsaufgaben formuliert und analysiert werden.Es ist geplant, zur numerischen Berechnung von BV-Lösungen zeit-inkrementelle lokale Minimierungsmethoden zu verwenden und zeit-adaptive Strategien zu entwickeln. Erste numerische Simulationen sind vielversprechend. Jedoch ist eine rigorose Konvergenzanalyse bislang nur unter sehr einschränkenden Voraussetzungen bekannt, die im Fall von Schädigungsmodellen nicht erfüllt sind. Darüber hinaus wurden zeit-adaptive Verfahren für dieses Lösungskonzept bislang nicht untersucht. Hinsichtlich der Optimierung ist noch weitaus weniger bekannt. Insbesondere die Approximation optimaler Lösungen über viskose Regularisierungen ist ein offenes Problem.Im beantragten Projekt wollen wir uns diesen offenen Fragen widmen und auf diese Weise einen theoretisch fundierten Rahmen zur Simulation und Optimierung ratenunabhängiger Systeme mit nicht-konvexer Energie erarbeiten. Als prototypische Anwendung dient die Schädigung spröder Materialien.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
