Mittelbarkeit, Struktur und Regularität von Gruppenwirkungen auf C*-Algebren

• Antragsteller: Eusebio Gardella, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 418366465

Das Studium von Symmetrien und Gruppenwirkungen ist es eines der wichtigsten und produktivsten Forschungsgebiete der Mathematik. In Operatoralgebren war die Klassifikation von Wirkungen der ganzen Zahlen essentiell in Connes' preisgekröntem Beweis der Eindeutigkeit von mittelbaren Typ III Faktoren. Weitreichende Verallgemeinerungen von verschiedenen Autoren kulminierten schließlich in der Klassifikation von mittelbaren Gruppenwirkungen auf mittelbaren Faktoren.Trotz Anstrengungen ist das Gebiet der C*-dynamische Systeme weit weniger entwickelt als das Pendant in von Neumann Algebren. Andererseits haben Durchbrüche in jüngster Zeit dem Forschungsfeld neuen Schwung gegeben. Dieses Projekt wird außergewöhnliche Fortschritte in C*-Dynamik machen, was diesen Forschungsbereich als einen der aktivsten im Bereich der C*-Algebren konsolidieren wird. Neben den Hauptzielen dieses Projekts werden wir auch eine Anzahl von Problemen im Zusammenhang mit Dynamik auf sowohl C*- als auch von Neumann Algebren erforschen. Diese Probleme haben enge Verbindungen zu topologischer und messbarer Dynamik, und sind daher von interdisziplinärer Natur.Das Projekt beinhaltet drei Forschungseinheiten mit ambitionierten und aussichtsreichen Zielen. In Einheit A werden wir den Zusammenhang zwischen Mittelbarkeit einer Gruppe und Kozykel-Rigidität ihrer Wirkungen klarstellen. Wir erwarten, dass Wirkungen von mittelbaren Gruppen deutlich beherrschbarer sind, was darauf hinweist, dass ihre Klassifikation möglich sein sollte. Ein entscheidender Schritt, der in Einheit B durchgeführt werden soll, ist die Konstruktion von Modellwirkungen einer mittelbaren Gruppe auf der Jiang-Su-Algebra, ähnlich zu dem, was für den hyperfinit II-1 Faktor gemacht wurde. Konkret wird erwartet, dass die Absorption der Modellwirkung äquivalent zu einer Anzahl von natürlich auftretenden Freiheits- und Rokhlin-Typ Eigenschaften ist; dies wird in Einheit C untersucht. Diese Fakten zu etablieren ist der Schlüssel um zu zeigen, dass Wirkungen, die die Modellwirkung absorbieren, klassifiziert werden können.Eine hervorhebende Eigenschaft unseres Projekts ist das große Ausmaß, in dem Ideen und Techniken aus dem Gebiet der von Neumann Algebren in neuer Art und Weise mit Werkzeugen aus dem Gebiet der C*-Algebren kombiniert werden, um bedeutende Fortschritte im Studium von Gruppenwirkungen zu erzielen. Heutzutage sind diese Forschungsfelder so spezialisiert geworden, dass nur wenige Wissenschaftler in ihrer Überschneidung arbeiten. Jüngst ist jedoch klar geworden, dass beide Bereiche von einer engeren Zusammenarbeit profitieren würden. Zum Beispiel basieren viele signifikante Fortschritte in der Strukturtheorie von nuklearen C*-Algebren auf Techniken, die speziell für mittelbare Faktoren entwickelt wurden. Die Theorien der C*-Algebren und der von Neumann Algebren sind eng miteinander verflochten, und dieses Projekt wird diese Wechselbeziehungen ausnutzen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen