Periodische Approximationen für mit Quasikristallen assoziierte Schrödingeroperatoren

• Antragsteller: Dr. Siegfried Beckus
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 412141125

Ein zu einem Festkörper assoziierter Schrödinger-Operator beschreibt die quantenmechanische Bewegung eines Elektrons in diesem Festkörper. 1984 entdeckte Dan Shechtman Festkörper mit aperiodischer Fernordnung, die sogenannten Quasikristalle, und erhielt dafür 2011 den Nobelpreis. Seither erfreut sich die Untersuchung dieser Quasikristalle großer Aufmerksamkeit. Die Analyse der Eigenschaften der entsprechenden Operatoren bleibt allerdings eine große Herausforderung. Bisher gibt es hauptsächlich Lösungen für eindimensionale Systeme; für mehrdimensionale Systeme fehlt eine allgemeine Strategie. Eine bewährte Herangehensweise ist die Verwendung periodischer Approximationen für die Quasikristalle, da diese dann mit der Floquet-Bloch-Theorie untersucht werden können.Gemeinsam mit meinen Mitautoren habe ich einen neuen Zugang entwickelt, Approximationen der Operatoren durch Approximationen der zugrundeliegenden dynamischen Systeme zu definieren. Wir konnten dabei zeigen, dass die Konvergenz der dynamischen Systeme die Konvergenz der Spektren der Schrödinger-Operatoren sowie die Konvergenz maß-theoretischer Größen, wie der Zustandsdichte und des Autokorrelationsmaßes, impliziert. Zusätzlich konnten wir Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkeit der Spektren für die Klasse von symbolisch-dynamischen Systemen zeigen. Die Resultate gelten in beliebiger Dimension, so dass unsere Theorie einen allgemeinen Zugang für zu Quasikristallen assoziierte Schrödinger-Operatoren liefert. Dieser Zugang soll im vorliegenden Projekt maßgeblich weiterentwickelt werden. Eine der wichtigen weiterführenden Aufgaben dazu ist die Konstruktion periodischer, dynamischer Systeme, die das dynamische System des Quasikristalls approximieren.Der erste Teil bezieht sich auf das sogenannte Kohmoto-Modell, eine wichtige Klasse von eindimensionalen Quasikristallen. Ich strebe an, den oben beschriebenen Zugang zu nutzen, um einen tieferen Einblick in die dynamischen Defekte zu bekommen, die in diesem Modell durch Approximationen auftreten. Zudem sollen die Konvergenzgeschwindigkeiten der Spektren im Kohmoto-Modell bestimmt werden. Im zweiten Teil sollen die qualitativen Abschätzungen der Spektren, die wir bisher nur für spezifische mehrdimensionale Systeme beweisen konnten, auf die Klasse der Delone-Mengen erweitert werden. Dies ist von praktischem Interesse, da interessante Beispiele für Physiker, wie zum Beispiel die Penrose- und die oktagonale Parkettierung, durch Delone-Mengen beschrieben werden. Zudem sind solche Abschätzungen wichtig für numerische Berechnungen und analytische Anwendungen. Das dritte Projekt beschäftigt sich mit der Existenz und Konstruktion periodischer Approximationen für dynamische Systeme. Ich strebe an, hinreichende Bedingungen für die Existenz periodischer Approximationen für zu Quasikristallen assoziierte dynamische Systeme zu finden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen