Parabolic conjugation on nilpotent elements for classical Lie types
Final Report Abstract
Unser Projekt ist in der algebraischen Grundlagenforschung anzusiedeln und wir interessieren uns unter anderem für die adjungierte Aktion der Boreluntergruppe B einer einfachen komplexen Liegruppe G auf der Varietät der 2-nilpotenten Matrizen in ihrer Liealgebra Lie G. Aus Vorarbeiten kennen wir eine Übertragung dieser Aktion auf eine reduktive Aktion (gegeben durch Basiswechsel) auf der (symmetrischen) Darstellungsvarietät eines symmetrischen Köchers mit Relationen. Letztere korrespondieren zu den Algebren mit Selbst-Dualitäten und es ergibt daher Sinn, zunächst die allgemeine Theorie dieser Algebren und insbesondere ihre Darstellungstheorie zu untersuchen. Folgende Punkte beschreiben die Haupterkenntnisse unseres Projekts: (1) Zunächst haben wir unseren Aufbau in ein allgemeines theoretisches Konzept eingebettet. Hierzu sei Gρ die Fixpunktmenge einer Involution ρ auf G und G operiere auf einer irreduziblen affinen C-Varietät X mit endlich vielen Bahnen. Gibt es eine Involution auf X, so dass (g.x) = ρ(g). (x) für alle x ∈ X und g ∈ G gilt, dann induziert die G-Aktion auf X eine Gρ-Aktion auf X . Die symmetrische Operation auf der symmetrischen Darstellungsvarietät einer Algebra mit Selbst-Dualität kann als eine solche Aktion aufgefasst werden. (2) Für unsere Ausgangsaktion haben wir, aufbauend auf der Beschreibung der Bahnen [6], die Bahnendimensionen bestimmt und eine kombinatorische Formel zur Berechnung hergeleitet. Daraufhin haben wir die Bahnenabschlüsse untersucht und konkret überprüft, ob sie von Typ A induziert sind. Für Typ C ist dies richtig, für Typ D jedoch falsch. Dies führt uns zu unserer neuen Vermutung, dass Abschlussrelationen nur in den irreduziblen Komponenten übertragen werden. (3) Wir haben die Darstellungstheorie der Algebren mit Selbst-Dualität untersucht und zunächst die übliche ext-Ordnung auf eine symmetrische Variante verallgemeinert. Dies führt zu den sogenannten isotropischen und Lagrangeschen Entartungen, die uns geholfen haben, ein gutes Gespür für Abschlussrelationen zu entwickeln. Ein symmetrisches Analogon der hom-Ordnung ist naheliegend und hängt eng mit den Erkenntnissen über die Induzierung von Typ A zusammen. Die größte Überraschung ist die Tatsache, dass Bahnenabschlussrelationen im klassischen Lietyp D nicht zwangsläufig von Typ A induziert sind. Es gibt also orthogonale Bahnen, die in Typ A entarten, in Typ D allerdings nicht und dies Phänomen tritt bereits in kleinen Beispielen auf. In Typ C hingegen ist in unserem Hauptbeispiel jede Entartung von Typ A induziert. Für Typ B ist das Phänomen noch nicht abschließend geklärt.
Publications
- Parabolic conjugation on 2-nilpotent elements for classical groups. Journal of Lie Theory 29(4) (2019) 969–996
Magdalena Boos, Giovanni Cerulli Irelli und Francesco Esposito
