Rigorose Asymptotik von Surface-Plasmon-Polariton-Wellenpaketen in nichtlinearen Medien

• Antragsteller: Professor Dr. Tomas Dohnal, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 407582688

Dieses Projekt untersucht lokalisierte Wellenpakete aus Surface-Plasmon-Polaritonen (SPP) am Interface zwischen einem Kerr-nichtlinearen Dielektrikum und einem Metall. Die Materialdispersion des Metalls wird berücksichtigt und beide Materialien dürfen homogen oder räumlich periodisch sein. Aus der angewandten Ansicht sind solche Wellenpakete wertvoll als potentielle Informationsträger. Zusammen mit der Möglichkeit, SPP auf einer viel kleineren räumlichen Skala zu manipulieren, als es bei elektromagnetische Wellen in Bulk-Dielektrika möglich ist, bieten diese Wellenpakete interessante physikalische Phänomene an. Die beschreibenden Gleichungen sind dispersive nichtlineare Maxwell-Gleichungen. Typischerweise müssen volle vektorwertige Maxwell-Gleichungen benutzt werden, um lokalisierte Lösungen zu untersuchen. Das Wellenpaket wird durch eine oder mehrere Trägerwellen sowie langsam variierende Einhüllende beschrieben. Formal kann für die Einhüllende eines asymptotisch breiten und kleinen Wellenpakets mit einer einzelnen Trägerwelle eine komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung hergeleitet werden. Das Ziel ist es, zu beweisen, dass diese formale Beschreibung (in geeigneter Norm) eine Approximation einer echten Lösung des Maxwell-Systems liefert. Dies wird für unterschiedliche Geometrien durchgeführt, sowohl im zweidimensionalen Fall, wo das Feld in einer räumlichen Richtung delokalisiert ist, als auch im Fall einer Lokalisierung in allen drei Richtungen. Außerdem werden beide, räumliche und räumlich-zeitliche Wellenpakete, betrachtet. Bei räumlichen Wellenpaketen ist das Feld zeitharmonisch und eine der räumlichen Variablen spielt die Rolle einer Evolutionsvariablen. Die modellierende Gleichung kann dann als ein zeitunabhängiges nichtlineares curl-curl-Problem geschrieben werden. Bei räumlich-zeitlichen Wellenpaketen ist die Evolutionsvariable die Zeit. Wir werden das Interface in der Form einer Ebene sowie einer Ecke, die durch das Berühren zweier Halbebenen gegeben ist, betrachten. Weil die Materialdispersion des Metalls zu Verlusten in der Zeitentwicklung führt, werden wir auch den Effekt eines gedopten Dielektrikums untersuchen. Dies kann zur Existenz von Solitärwellen der Ginzburg-Landau-Gleichung führen und dadurch eine nahezu verlustfreie Entwicklung im vollen System implizieren. Die Hauptschwierigkeiten der mathematischen Analyse sind, erstens, die Wohlgestelltheit der bestimmenden Maxwell-Gleichungen, bzw. des curl-curl-Problems, das als ein Cauchy-Problem formuliert wird. Zweitens muss das Residuum des asymptotischen Wellenpaket-Ansatzes in einer Norm, die kompatibel zu den Wohlgestelltheitsresultaten ist, abgeschätzt werden. Die Analysis wird durch numerische Simulationen der Wellenpaket-Entwicklung und durch numerische Tests zur Konvergenz des asymptotischen Fehlers begleitet.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen